IOOO ACADÉMIE DES SCIENCES. 



est liée, et 



IL = u -+- qKs — /' / siny(s)ds, M — r — pKs + r I cosy(s) ds, 



* o J 



( 2 ) 



I N = » • -t- / (/jsiny — qcosyjds. 



La méthode rappelée dans la Note insérée dans les Comptes rendus 

 (i3 mai 1912) nous conduit aux résultats suivants que je me borne à 

 énoncer. 



La condition nécessaire et suffisante pour que l'hélice génératrice indé- 

 formable constitue une famille de lignes de courbure de la surface qu'elle 

 engendre est que la relation 



(3) [N — K(Lcosy + M siny)] 



X j y/(KN -+- Lcosy + M siny ) — (K ! + 1) [r — K(/>cos/ + q sinyj]' 



4- (K 2 -+- l)'{p sin^ — q cosy ) (M cosy — L sinyj =o 



soit identiquement vérifiée. On est conduit à séparer d'abord le cas où le 

 plan de base de l'hélice mobile conserve une direction fixe. Alors p et q 

 sont nuls. Nous nous limiterons désormais dans cette Note à l'examen de 

 ce cas. 



Sur/aces engendrées par une hélice indéformable de même direction d'axe 

 et qui reste constamment une ligne de courbure de la surface qu'elle engendre. 

 — I. En éloignant le cas des surfaces d'égale pente dont la génératrice recti- 

 ligne est une solution du problème qui nous occupe, l'équation (3) se réduit 

 alors à la suivante : 



(4) L cosy + M siny+ Kir — (K 2 -)- i)— = o. 



A. 



En éliminant w et M entre l'équation (4) et celles qu'on en déduit par 

 deux dérivations par rapport à s, on trouve une relation équivalente aux 

 deux équations à une seule variable : 



(5) iv = — tt r (rtconst.); 



(6) (K»+i)X = K»n-a X . 



La relation (6) définit la génératrice; l'équation (4) et celles qu'on en 

 déduit, comme il a été dit ci-dessus, donnent u et r, et l'on trouve le résultat 

 suivant : 



