SÉANCE DU 3l MARS IÇ)l3. IOOI 



Théorème. — Les seules surfaces admettant une famille de lignes de 

 courbure formée par des hélices indéformables de même direction d'axe sont 

 des hélicoïdes (admettant comme cas particulier, évident a priori, des 

 sphères). 



II. Passons maintenant à l'intégration de l'équation (6) : 



i° Si a — o, on trouve une surface de révolution qui ne peut être qu'une 

 sphère, ce que montre une vérification directe. L'équation (6) s'intègre 

 alors immédiatement une première fois et donne 



(7) P= — iW-'*/ 



(K*+i) 2 



(p rayon de courbure de la projection de l'hélice sur son plan de base, 

 s constante). 



Cette équation intrinsèque est celle d'une épicycloïde. On voit sans peine 

 qu'elle conduit pour l'hélice à des équations intrinsèques caractéristiques 

 des hélices sphériques [cf. notre Mémoire : Contribution à la théorie des 

 hélices ( Revue du Génie militaire, i'' semestre 1910)]. Nous retrouvons ainsi 

 en passant le résultat suivant : 



La projection d' une hélice sphérique sur son plan de base est une épicycloïde. 

 2 Supposons maintenant a ^ o. Posons alors 



K 2 



(8) x =9--s, 



l'équation en transformée de l'équation (6) s'intègre immédiatement une 

 première fois et donne 



(9) (K 2 +0 



— ! H - ni I -1 s h =0 ( a = — , b const. arbit. ). 



9'— a 2 (9'— a) 2 J 22 V « / 



De cette équation on tire 



cl9 aeR 



d'où, par des transformations dont nous ne donnerons pas le détail et en 



