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Tableau III. — Distribution des facules en latitude. 



Nord. Surfaces 



— ■ ^ — ^ — Totaux totales 



Somme. 0". 10°. 20°. 30". K>°. 90*. mensuels. réduites. 



3 1 » » 1 1 14 6,5 



8 1 » 1 1 5 1 5 5,i 



3 1 1 » » 1 i3 6,9 



14 3 1 1 2 7 42 i8,5 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur une question concernant les fonctions 

 de deux variables réelles. Note de M. Emile Cotïon, présentée par 

 M. E. Picard. 



Divers problèmes, en particulier celui de la stabilité des mouvements, 

 conduisent à étudier le signe d'une fonction V au voisinage d'un point O 

 où cette fonction et ses dérivées premières s'annulent. L'étude directe de ce 

 signe étant rarement possible, on substitue souvent à V une expression 

 approchée U. Il y a donc intérêt à donner des conditions suffisantes pour 

 qu'une telle substitution soit légitime. C'est ce que je fais ici, en me limi- 

 tant au cas de deux variables et en supposant U holomorphe. 



Un cas particulier de ce problème se pose à propos de l'étude des 

 extrema au moyen des dérivées ('); U est alors un polynôme obtenu en 

 appliquant»» V la formule de Taylor et supprimant le terme complémen- 

 taire, on cherche si ce polynôme garde un signe constant au voisinage de O 

 et si l'on en peut conclure que le signe de V reste aussi constant. Dans le 

 problème général que nous posons, l'origine de U est quelconque, le signe 

 de cette fonction peut varier; on se demande si les régions U>o et 

 U << o et les régions analogues V>o et V<o sont disposées, au voisi- 

 nage deO, de la même façon (voir n° II). 



I. Quelques définitions concernant les fonctions holomorphes réelles 

 sont nécessaires. Soit U (ce, y) une fonction de cette nature, s'annulant 

 ainsi que ses dérivées premières pour x=y = o et telle que la courbe 

 U = o n'admette pas de branche réelle multiple passant par l'origine O. 



(') L'exemple, devenu classique, de Peano et l'important Mémoire de L. Scheeffer 

 {Math. Annalen, t. XXXV) montrent que cette question est bien plus délicate 

 qu'elle ne le paraît à première vue. 



