SÉANCE DU 7 AVRIL I<)l3. lo55 



A chaque demi-branche réelle y, issue du point de cette courbe, nous 

 ferons correspondre un onglet d'isolement de la manière suivante. Les axes 

 étant choisis de façon que Oy ne soit pas tangent à y, et que Ox et y soient 

 d'un même côté de Oy, la ligne y est représentée, pour x positif et assez 

 petit, par y = f(x), où /(x) est une série ordonnée suivant les puissances 

 d'une même racine \/x. Ecrivons les premiers termes de ce développement 

 en nous arrêtant dès que nous aurons un ensemble y(x) qui ne commence 

 le développement d'aucune autre racine réelle ou imaginaire de U = o. 

 Soit ax a le dernier terme de y(x); l'onglet d'isolement sera défini, pour a? 

 positif et petit, par y(x) — ~kx a <^y <^z*(x) -+- Aa- a , où A est un nombre 

 positif suffisamment petit. 



Nous n'excluons pas dans la suite le cas où U = o n'admettrait pas de 

 branche réelle passant en O, où il n'y aurait par suite pas d'onglets 

 d'isolement, mais si ces onglets existent nous les supposons construits 

 de façon qu'ils n'empiètent pas les uns sur les autres au voisinage de O. 



Soit A une demi-branche réelle de courbe algébroïde issue de O (c'est- 

 à-dire que A peut être représentée par un développement et une inégalité 

 analogues à ceux qui concernent y). L 'ordre de contact d'une ligne A et de 

 la surface S représentée pars = U(x,y) se définit comme dans le cas des 

 lignes analytiques. Cet ordre peut être supérieur à tout nombre donné s'il 

 existe des lignes y et si l'on n'apporte pas de restriction au choix des 

 lignes A. Mais, si les lignes y n'existent pas, ou si ces lignes existent 

 et qu'on se limite à celles des lignes A qui sont, au voisinage de l'origine, 

 extérieures aux onglets d'isolement, l'ordre de contact de ces lignes A et de S 

 ne peut surpasser une certaine limite (cela résulte de la décomposition en 

 facteurs de Weierstrass). Nous désignons cette limite par p — 1 , le nombre p 

 va nous être utile. 



II. Considérons maintenant une fonction \ (x,y) bien définie et admet- 

 tant des dérivées premières dans un domaine entourant l'origine (') s'an- 

 nulant en ce point ainsi que ces dérivées. Admettons qu'on en connaisse 

 une expression approchée U(x, y) satisfaisant aux conditions du para- 

 graphe précédent et à la suivante. Soit D (,r, y) = V(#, y) — U(x, y) ; il 

 existe un nombre s supérieur à p tel que le quotient D (a?, y): r s 



(') On peut aussi étudier le cas où le point a.\ y reste dans une région limitée par 

 une frontière passant en O, et donner un critère analogue à celui du texte, si celte 

 frontière vérifie des conditions convenables. 



