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où /• m yr 2 -h y~ reste borné quand r tend vers zéro. Alors les deux fonc- 

 tions V et U ont même signe pour les points du plan i^oisins de O extérieurs 

 aux onglets d'isolement. 



Si, de plus, les quotients par r* -1 des dérivées premières de D restent 

 aussi bornés quand ;• tend vers zéro, il existe dans chaque onglet d 'isolement 

 une demi-branche réelle y' et une seule de la courbe V = o ( ' ). 



L'onglet est divisé en deux parties; dans chacune d'elles, V garde le 

 signe constant qu'il a sur la frontière correspondante. 



III. Enonçons enfin une dernière propriété des fonctions Y(x,y) satis- 

 faisant aux conditions précédentes. Imaginons un point mobile dans le 

 plan soumis à une force dérivant de la fonction de forces V(.r, y). L'ori- 

 gine O est une position d'équilibre ; mais si V n'est pas maximum en O, 

 l'équilibre est instable ( 2 ). 



MÉCANIQUE APPLIQUÉE. — De la stabilité d'équilibre dans un cas particulier 

 de pièce courbe. Note ( 3 ) de M. Stanislas Helsetskv, présentée 

 par M. Appell. 



Si les dimensions des corps sont toutes finies et de même ordre de gran- 

 deur, les forces finies qui ne dépassent pas certaines limites, dites limites 

 d'Euler, produisent des déformations infiniment petites. Le potentiel des 

 forces élastiques W, relatif à cbaque élément dv du milieu, est un poly- 

 nôme homogène de deuxième degré. Si un tel corps n'est soumis à aucune 

 force extérieure non superficielle, on doit avoir, d'après le principe des 

 vitesses virtuelles, 



^W dv = o. 



^ 



Si les coefficients d'élasticité satisfont à la condition de stabilité, l'équi- 

 libre sera stable et la forme d'équilibre sera unique. Les déplacements 



— -^— ^— — — — i — - — , i 



(') La démonstration (que je donnerai dans un travail plus étendu) repose sur la 

 méthode d'approximations successives des fonctions implicites de M. Goursat, un peu 

 modifiée pour lever les difficultés qu'entraîne la présence du point singulier O des 

 courbes U = o, V= o. 



( 2 ) Pour le cas où la fonction des forces est holomorphe, voir une Note antérieure 

 (Comptes rendus, t. 153) et un article des Annales de l'École Normale. 



( 3 ) Présentée dans la séance du 25 mars 1 91 3. 



