1122 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



dans S', la température V' (oc, y, z, t) satisfait à l'équation 



àV' ,Jd-\" d-V d-Y' 



ôt \ dx s ày- àz- 



Les conditions aux limites sont les suivantes. La fonction V (x,y, z, t) 

 est donnée pour t = o dans S, et la fonction V (a?, y, z, t) est donnée pour 

 t=o dans S'. Ensuite les conditions (i) du paragraphe 1 doivent être 

 satisfaites sur la surface 2, quel que soit /. Si, de plus, nous admettons 

 comme plus haut, que la surface 2' rayonne vers l'extérieur supposé à la 

 température zéro, on aura constamment sur S' l'équation (2). 



Considérons d'abord une solution de la forme 



\z=e- XH u{x, y, z). V' = e- X, 'u'(a:,y, z), 

 A étant une constante. On aura 



A ** A t l ' , 



au ^ : u = o, an -\ — rr u' — o. 



a- a- 



Prenons pour u et u' des expressions de la forme 



///■ 'tir ),!/•' 



" = ff" € F d - "'= ff" ^ * + ff' €J k <"'■ 



S 2 S- 



où r et r' désignent respectivement les distances du point (a?, j, z) aux 

 éléments (h et da' des surfaces 2 et 2 ; u. et p sont des fonctions inconnues 

 de la position de l'élément ih sur 2, et pareillement p' pour la surface 2'. 



En substituant ces valeurs de u et u' dans les équa lions (1) où l'on met 

 u et u' à la place de V et V', et dans l'équation (2), où l'on met u' à la place 

 de V, on obtient un système de trois équations intégrales linéaires homo- 

 gènes (') qu'il est inutile de transcrire ici, où les inconnues sont jx, p et p'. 



5. Si A est arbitraire, les équations intégrales qui précèdent ne sont 

 satisfaites que pour jj. = p = p'= o; les valeurs intéressantes pour nous 

 sont les valeurs singulières de X, pour lesquelles il en est autrement. Ces 

 valeurs sont réelles et deux à deux égales et de signes contraires; dési- 

 gnons-les d'une manière générale par A /; , p allant de — oc à -+-oo, 

 (k p = — A_ /; ). Il s'agit de voir, imitant des méthodes classiques, si l'on peut 



(') La quantité À joue bien entendu ici un rôle un peu différent de celui que joue 

 le paramètre habituel de l'équation de Fredholm. Le déterminant des équations 

 intégrales n'en est pas moins une fonction entière de 1. 



