SÉANCE DU l4 AVRIL IC)l3. 1 137 



réseau (x în ) coïncide avec (x), ou, ce qui est la même chose, le réseau (x n ) 

 coïncide avec (x_ n ). 



La méthode que j'ai employée pour obtenir ce résultat est simple. J'ai 

 remplacé les relations (i) par des relations entre les coordonnées du pointa? 

 du réseau (x) et les coordonnées des points x t des réseaux (a - ,). Par des 

 dérivations successives j'ai obtenu les deux groupes suivants de relations 



l.r.r,, —o, l-i\-r„ = o, ..., 2x n -iX n = o, 2x , r„ =o 2x_ ( „ t) x n —o; 



l.rx_„=o, i.r,j'_„ = o, .... 2x n _iX_ n =±o, 2x^ t x^„=o, ..., Ii. |M) .r_„=o, 



d'où il résulte que les ,r„" sont proportionnels aux .#■_'„, et le théorème est 

 démontré. 



Réciproque. — Tout réseau conjugué (x) à invariants égaux identique au 

 •3.n leme réseau transformé de Laplace, vérifie, à moins d'une transformation 

 linéaire, les relations ( i). 



L'hypothèse faite sur (a?) revient au fait que le réseau (x„), n ième trans- 

 formé de (x) dans un sens, est identique au réseau (x_ n ), « i '"" e transformé 

 de (x) dans l'autre sens. Ce réseau (x„) ou (x'_„) est, comme ( x), à inva- 

 riants égaux et l'on peut choisir les variables indépendantes de manière que 

 l'équation de Laplace vérifiée par les x'f/ soit la même pour les x'" n . Il résulte 

 de là 



(2) x { J ) n =c.i-,' (c = const. ). 



ce qui prouve cjue les x [i) , c'est-à-dire les coordonnées d'un point du 

 réseau (x), sont définies par un système d'équations aux dérivées partielles, 

 l'une étant l'équation de Laplace 



d*x 



(3) 



i)u dv 



l'autre résultant de (2) et étant d'ordre n. Ce système est complet et 

 n'admet pas d'autres solutions linéairement indépendantes. 



Cela étant, considérons les fonctions y-" définies par les relations 



(4) 2yx=zi, 2yj- t = o, ..., 2yx,y=o, 2yx^ — o, ..., 2yx- { «_i) = o. 



Tout d'abord, il est aisé de démontrer, par des dérivations successives, 

 que les y sont des solutions de (3). 



Si l'on introduit ensuite les réseaux (j,-) déduits de (y) par des trans- 

 formations successives de Laplace, alors, par dérivation, on déduit de (4) 



