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de M. Boutroux ('), en ce sens qu'elle sera effectivement atteinte pour 

 certaines fonctions, mais l'application directe des formules se fera dans des 

 conditions moins larges ( 2 ). 



On pourra obtenir dans le cas où les arguments des zéros ont une limite, 

 - par exemple, et où dans (2) l'égalité a lieu pour des valeurs de n dont 

 le rapport tend vers 1, une expression asymptolique de log|/(;)| valable 

 dans tout le plan sauf au voisinage des zéros, on aura a;V [t ~ a[Xl] désignant 



1 + P1 ' 



toujours la fonction inverse der f , 



(3) io g /( a ) = Z(11[ t)\ /,pf '' )[l + s{r ^ )] (*:='■«". p(-'') = p['-^('-)]!; 



si r" t désigne le module du n"""' zéro de /(:■) -+- a, on voit que le rapport -5 



dépend de la variation de cf.(cc) et peut dépasser tout nombre donné; 

 ce rapport aura une limite fonction de p seulement dans le cas lima(x) = o. 



3. Le tbéorème de M. Wiman relatif aux fonctions d'ordre inférieur à £ 

 se précise de la façon suivante : sif(s) est d'ordre inférieur à 1, -et d'ordre 

 précisé p[i — y(a;)], il existe une infinité de cercles de rayons r,, r.,, ..., 

 r s , . . . (lim^ = co), sur lesquels on a 



■og|/('-,É"' ( ?)|^[cos(Tip)-£ s ]logM(/-. ï ), limE,= o; 



et cette égalité a lieu pour les valeurs de y(x) voisines des minima ( 3 ). 



On en déduit que p étant quelconque (plus grand que un), on a sur une 

 suite de cercle r s (tbéorème de M. Borel) 



|/(;)|>[M(r)]-^-' (p>p>p-i)-; 



(') J'ai déjà indiqué la valeur de cette limite (Nouvelles Annales, 1912) pour 

 p = o, 1, 2 et limfi(.r) =r o. 



.r — 30 



( 2 ) Les conditions imposées par M. Boutroux à (3(x) sont en effet moins restric- 

 tives 



P~l } ~ 1 < S -H S'* \oex < P—?-. 

 p -t- 1 p 



( 3 ) M. Liitlewood avait montré (Proceedings 0/ tlie London Mathematical Society, 

 2, 6) que 



lo g|/('\-f' :? )l>[cos(27rp) -s.<] log M (/-,); 



voir aussi Wiener, Inaugural Dissertion, Gôltingen, 191 1. 



