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Soient 



une suite infinie de fonctions algébroïdes à un nombre fixe v de branches et 

 finies dans un domaine D et <p( z) un ensemble fini de fonctions, dont le 

 nombre total des branches dans le domaine D est égal à v; désignons 

 par w, M , u n2 , u ni , ..., m„ v les valeurs de u = <p„(z) et par «•,, w 3 , vo z , ..., 

 w y les valeurs des w = ç(s). Nous dirons que la série (i) converge unifor- 

 mément, à l'intérieur de D, vers les fonctions w = ç(.c) si, D, étant un 

 domaine quelconque complètement intérieur à D, on peut faire corres- 

 pondre à chaque nombre positifs un entier p, tel que, pour n^>p et pour 

 tout point z du domaine D,, le Tableau des v 2 nombres : 



11',— «„,, 11',— «„,, d',— U„ 3 Il',— ll, rl , 



*>v— «»s, «V 



««v 



contienne au moins v différences de module inférieur à z. 



Il est aussi utile de donner la définition suivante: Nous dirons que la 

 série (i) converge en un point z du domaine D, si avec les valeurs des 



( 3 ) ?i(=o), ?»(-„)• <p 3 (-So), •••> ?»(-<>), ••• 

 nous pouvons former v séries convergentes : 



(3) 



\ *VJj a '/2> ^V3> • • ■ ■ <*'/«> 



en désignant, d'une façon générale, par a,„, sc 2B , ac 3n , .. ., a vre les v valeurs 



de cp„(~ ); chacune de ces séries (3) contient une valeur et une seule de 

 chaque terme de la série (2). 



2. Nous établissons le théorème suivant : 

 I . Soit une série 



(4) /t(*), /•(*), /*(*), /.(*), ••• 



de fondions algébroïdes à un nombre fixe v de branches dans un domaine D 

 et bornées dans le même domaine. 



