SÉANCE DU l4 AVRIL IÇ)l3. I l/j3 



Si celte série converge en une infinité de points du domaine D ayant au 

 moins un point de condensation (point-limite) à l'intérieur de D, elle converge 

 uniformément dans tout l'intérieur de D vers des fonctions algébroïdes ou 

 holomorphes dans 1 ), dont le nombre total de branches est au plus égal à v. 



C'est une extension aux fonctions algébroïdes dans un domaine des théo- 

 rèmes bien connus de Stieltjes (') et de MM. Osgood ( 2 ), Arzelà ( 3 ), 

 Montel( ■') et Vitali ( 5 ) sur les fonctions holomorphes. 



Nous remarquons que le théorème ci-dessus énoncé s'étend au cas plus 

 général où les termes de la série considérée ne sont soumis qu'à la condition 

 d'appartenir à une famille normale de fonctions algébroïdes à un nombre 

 fixe v de branches finies dans un domaine D. Nous obtenons ainsi une 

 extension aux séries de fonctions algébroïdes dans un domaine du théorème 

 général de M. Montel, établi dans son Mémoire récent : Sur les familles de 

 fonctions analytiques qui admettent des râleurs exceptionnelles dans un 

 domaine (Annales de l'École Normale supérieure, 3 e série, t. X\l\, 1912, 

 p. 53i et 532). 



3. Nous établissons aussi les deux théorèmes suivants : 



II. Soit une famille (F) de fonctions u =f(s) algébroïdes à un nombre 

 fixe de branches dans un domaine D. Si, pour tous les points de ce domaine, 

 toutes les fondions de fa famille satisfont à l'inégalité 



l«-7l><7> 



Y étant un nombre que/co/ique fixe et q un nombre positif aussi fixe, cette 

 famille est normale. En d'autres termes, la famille est normale lorsqu'elle 

 admet un cercle exceptionnel quelconque fixe dans le plan u. 



(') Correspondance d' '/Je/mile et de Stieltjes, t. II, lettres n os 399 el 400, p. 368; 

 Recherches sur tes fondions continues {Annales de la Faculté de Toulouse, t. \ III, 



■ 8 9 4). 



(-) Annals 0/ Mathematics, i* série, t. III, n° 1, 1901. 



( :i ) Sulle série di funzioni analiticlie (Rendiconti dell. R. Accad. dette Scienze 

 di Bologna, 1902-1903). 



( 4 ) Sur les suites infinies de fonctions [Annales de l'Ecole Normale, 3 e série, 

 l. XXIV, 1907, p. 3o 7 ). 



( 3 ) Sopra le série di funzioni analiliche (Rendiconti del Fi. Inst. Lombardo, 

 ■?,' série, t. XXXVI, 1903, p. 773, et Annali di Matematica pura ed applicata, 

 3 e série, l. X, 190:4, p. 73). 



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