Il/j/j ACADÉMIE DES SCIENCES. 



C'est une extension aux familles de fonctions algébroïdes dans un 

 domaine d'un théorème de M. Montel (voir P. Montel, travail ci-dessus cité, 



1 9 ] -i P- 49 3et 494)- 



III. Soit (f) la famille composée de toutes les fonctions u = a(z) définies 

 par l'équation 



(5) a(z, u) — u v + A,(*)u v '+ \, (;)m v - 2 -h...-4-A v _! (-■)« +A v (s) = o, 



o« /es A, (s), A 2 (js), ..., A v (s) désignent des fonctions régulières en :• = o : 



M~) = «i-t- M h — > 



(6; 



Aj(-S) =:«.,-+- fe 2 3 -h. 



A v (~) =a v + *vs + . . ., 



les coefficients a,, b n a 2 , b.,, ..., a,,, Z> v étant fixes, tandis que les coefjicienls 

 non écrits sont des paramètres variables, et supposons que les nombres b n 

 b. 2 , . . . , b, t ne soient pas tous nuls. 



Si nous considérons l'ensemble (E) des valeurs u qui satisfont à l'iné- 

 galité 



I " - y l< y. 



y étant un nombre fixe diffèrent des racines de l'équation 



b 1 .v''-' + b 2 x'- 2 -{- ... -h 6 v -i x + 6 V = o 

 et q un nombre positif quelconque aussi fixe, il existe un cercle 



(7) |*| <R= R(v, y,q,a lt «.,, . . ., a v , b u 0,, . . ., 6 V ), 



f/o/// /e rayon est fixe, ne dépendant que des nombres v, y, q, a,, a. 2 , ..., fl v , 

 è,, /> 2 , ..., /; v [et nullement des paramètres variables des séries (6)J, à l'in- 

 térieur duquel toute fonction de la famille ( f) ou bien prend au moins une 

 fois une valeur de l'ensemble (E), ou bien admet un point singulier transcen- 

 dant ^c'est-à-dire : elle n'est pas algébroïde dans le cercle (7) si elle n'y 

 prend aucune valeur de l'ensemble (E)]. Le rayon R doit satisfaire à f iné- 

 galité 



(8) R 2 | y v + a,y v -'+ a,y v - i! + ... --t-rty-.y + a,,! 3 



q' |6,y v - , -h& 2 /'- 2 + ...+ ^iyH-M 



Nous en concluons qu'aucune fonction u =f f z) de la famille (f) algé- 

 broïde et finie dans le cercle de centre origine et de rayon plus grand 

 que (8) ne saurait admettre, dans ce cercle, un domaine exceptionnel du 

 plan u renfermant complètement dans son intérieur le cercle |m — yKy- 



