SÉANCE DU i4 AVRIL I9l3. 1 1/|5 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur la méthode de Graeffe. Note (') 

 de M. (i. Polya, présentée par M. Hadamard. 



La question qui fait l'objet de cette Note m'a été proposée par M. Runge, 

 lequel a bien voulu m'bonorer de ses conseils pendant mes recherches. 



D'après la méthode de Graeffe ( 2 ), on calcule approximativement les 

 racines d'un polynôme, en formant successivement les équations auxquelles 

 satisfont les puissances 2 ié, " es , 4 ièmes , 8 iemes , i6 iémes , ... des racines du poly- 

 nôme proposé. On peut montrer que, par la même méthode, les valeurs 

 absolues des racines d'une série de puissances quelconque peuvent être 

 infiniment approchées. 



D'une manière plus précise : soient 



2,, «i, <x 3 , ..., <x„ 



|a,|<|cc I |<|«,|<...<K|<... 



les racines de l'équation 



f(x) = 1 -+- a x x + a % x l -+- . . . a n x" ■+-. . . = 



rangées par ordre de module croissant, intérieures au cercle de convergence, 

 chacune écrite avec son ordre de multiplicité. En formant les coefficients 

 de la série de puissances 



/(.r)/(w.r )/(«»' j?). . ./(u*-«ar) = 1 + a uk x k H- a 2 , ftJ r 3 *+ « 3 , A .r 3 '' + . . . , 

 où 



-mi 

 w = e ' ' , 



on a les théorèmes suivants : 



I. Si |a„| < | a n4 _, |, ou s'il y a seulement n racines à l'intérieur du cercle 

 de. convergence de /(ce), on a 



Li.ma*a*a*. . .«*a„ )ft = (— 1)". 



k = 00 



II. S:'|a B | = a n+ ,|, limsup.|a*a*a* .. . a n>k \ est un nombre entier positif . 



III. S' il y a seulement n — 1 racines à l'intérieur du cercle de convergence 



(') Présentée dans la séance du 3i mars igi3. 



(-) Runge, Praxis der G leichungen, 1900, p. 157-182. 



