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{de rayon p), on a 

 Considérons la suite 



ACADEMIE DES SCIENCES. 



im sup. y/| a„ i- 



a, y..,. . .&.„ 



linn/|rt, iA . | lira\/|«5. 



iimy/l a, 



\\m\/\ a 2 j,. | lim(/|<7 3 _ /l 



dans laquelle on ne considérera que les termes précédant le premier qui soit 

 supérieur ou égal au rayon de convergence, ou précédant le premier terme 

 qui devient infini. Des théorèmes précédents, on conclut que les termes de 

 cette suite donnent les modules de toutes les racines de l'équation 



intérieures au cercle de convergence, rangées par ordre de module croissant, 

 chacune des racines étant ohtenue avec son ordre de multiplicité. 



Ces théorèmes présentent une grande analogie avec certains théorèmes 

 de M. Hadamard ('), mais la méthode résultant de ces théorèmes est 

 entièrement différente de celle proposée par M. Hadamard pour le calcul 

 des modules des racines. On voit clairement les analogies et les différences 

 des deux méthodes en étudiant le problème suivant : Calculer les modules 

 des racines de f(x), étant donnés les coefficients t t , t.,, t :l , ... de la dérivée 

 logarithmique de f(x) 



/(*) 



= <,-+- l,.v -+- /j.v- + , 



La différence essentielle est la suivante : Pour calculer le produit des 

 n premières racines, on envisage, d'après M. Hadamard, la racine / icmo du 

 déterminant 



'/. I 1 '/.(•> • • • l/.+n 



'/ +5 'tu ■ • ■ t/t+n+1 



'*■!-« h.+n+i ■ ■ ■ '/.-t-2«~i 



Ce déterminant est une certaine fonction rationnelle et entière des 

 in — i coefficients consécutifs l /i+l , t k+î , . . . , £ Ah _ 2 „_,. Nous avons envisagé, 



a nk étant une certaine fonction 



dans le même but, la racine A icme de «„ A , 



(') Hadamard, Essai sur l'étude des fonctions données par leur développement de 

 Taylor {Journal de Mathématiques, i\" série, t. VIII, 1892). Voir aussi Madamaiid, 

 La série de Taylor (Scientia), 1901, p. 38-48 et gi-g3. 



