SÉANCE DU 21 AVRIL Ip,l3. I2l3 



ANALYSE MATHÉMATIQL'E. — Sur des transcendantes entières généralisant 

 les fonctions exponentielles et trigonométriques. Note de M. Michel 

 Petkovitch, présentée par M. Emile Picard. 



(0 



Si dans l'expression 



/ ur" dt 



r- 



dt 



on remplace u et r par diverses fonctions de t, réelles, finies et continues 

 pour / compris dans l'intervalle réel et fini (a, b), on a des suites 



i, a,, a 2 , a 3 , ..., 

 en nombre illimité. Les séries 



1 ( X ) = I -\ r X -\ j- X % -+- . . . , 



(2) { I,(«r) = I — — x^+jjX* — ..., 



2 1 4 ! 



liées par la relation 



(3) l(xi) = l t (x) + il t (x), 



lesquelles, dans le cas particulier de r = const., se réduisent aux fonctions 



élémentaires 



l{x) = e'" x ,' I,(.c) =; cos/'x, I., (.r) = sin r.r. 



représentent, dans le cas de r variable, des transcendantes variées pouvant, 

 sous plusieurs rapports, être considérées comme généralisations de ces fonctions. 

 D'abord, les intégrales définies 



,4 



l \{x) =i r ue rx dt, L= / udt, 



ï 1 (x)=y I u cosrx dt, I 2 (.r) = — / u sinrxdt, 



J a ' J a 



par lesquelles se laissent exprimer I, I,, L, mettent en évidence les faits 

 suivants : 



