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i° Ce sont des fonctions entières de x, du genre zéro ou un. 



2° La fonction ï(x) n'a qu'un nombre limitéde zéros réels et un nombre 

 limité de maxima et de minima. Les propositions de Laguerre sur les 

 intégrales delà forme 



f 



ue~ xl dt 



fournissent le moyen de fixer une limite supérieure de ces nombres. 

 Lorsque x augmente indéfiniment, l(x) augmente aussi indéfiniment ou 

 bien tend vers zéro, suivant l'argument avec lequel x augmente. Tout ceci 

 est également valable pour les dérivées d'ordre quelconque de ï(x), qui 

 sont toujours fonctions de même espèce. 



3° Ces fonctions I,(x) et I 2 (#) sonl oscillantes pour x réel, à un nombre 

 illimité d'oscillations, ayant un nombre illimité de zéros réels positifs et 

 négatifs et un nombre limité de zéros purement imaginaires. Elles ne 

 surpassent pas, en valeur absolue, une certaine limite finie, pour aucune 

 valeur réelle, finie ou infinie, de x et tendent vers zéro lorsque x augmente 

 indéfiniment par valeurs soit positives, soit négatives. Tout ceci est éga- 

 lement valable pour les dérivées d'ordre quelconque de I, et L, qui sont 

 toujours fonctions de cette même espèce. 



4° Des analogies plus profondes avec les fonctions e rx , cosrx, sinrx 

 apparaissent dans le cas où la fonction u garde un signe invariable entre a 

 et b. Dans ce cas, en désignant par M et N la plus grande et la plus petite 

 valeur que prend la fonction r dans l'intervalle (a, b), les expressions (3) 

 mettent en évidence les faits suivants : 



a. La fonction l(x) n'a aucun zéro réel, ni aucun zéro imaginaire à 

 coefficient de i compris entre — ^et-^. Si, en même temps, /• garde un 

 signe invariable dans l'intervalle (a, b), la courbe réelle y = ](x) varie 

 constamment dans un même sens lorsque x varie de — oc à -+- yo, sans 

 présenter de maxima, de minima ni de points d'inflexion, et il en est de 

 même d'une dérivée quelconque de I {x). Le polynôme obtenu en arrêtant 

 la série l(x) à un terme quelconque de degré pair a tous ses zéros imagi- 

 naires. 



b. L'expression 



-logl(^) 



a une valeur finie et comprise entre M et N pour toute valeur réelle 

 de x. 



