SÉANCE DU 21 AVRIL I9l3. 121 5 



c. En désignant, d'une manière générale, par A une fonction de r dont 

 les valeurs, pour toute valeur réelle de a?, sont finies et comprises entre 



r — h et H- /, où 



M - N , M — \ 



h=-û->o, |=__> : ., 



toute fonction 1 (x) a pour x réel une formule d'addition de la forme 



l(ar, + *, + ... -H ■>;, ) = !('*, )'''• I ( * t )'> • ■ • 1 (*„ )"'-. 



et une formule de multiplication de la forme 



[(*,*■,) = 1(^1)*^. 



r/. On a des faits analogues pour les fonctions 1, et I 2 ne variant alors 

 qu'entre -+- i et — i,'avec un nombre illimité d'oscillations de plus en plus 

 amorties, avec un nombre illimité de zéros réels et n'ayant point de zéros 

 purement imaginaires. Je signale particulièrement une sorte de formule de 

 Moivre généralisée : en posant 



II, (*) = 1,(^1)=— j u(e>*+e-*)dt, 

 H î (ar) = I s (a?t)=-r / u(e rjc — e rx )dt 



(les fonctions H, et H 2 généralisent ainsi les fonctions hyperboliques), 



on a 



[H,(j) -f-(H,( 1 r)]"'=H I (mX,.r)-+-/IL(«r/.,^). 



H 1 (;«.r) + /H,(mj)= [H,(?.oa-)-+-'H 2 ()., '•)]'". 



pour toute valeur réelle de x et de m. 



.Les transcendantes 1,1,, L se présentent dans plusieurs problèmes d'ana- 

 lyse (intégrations des équations différentielles et aux différences Unies, 

 réduction de types généraux d'intégrales définies, divers problèmes du 

 Calcul des probabilités, etc.), ce qui donne un intérêt particulier à leur 

 élude. 



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