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GÉOMÉTRIE. — Sur les invo/utions appartenant à une surface de genres 

 zéro et de bigenre un. Note de M. L. Godeaux, présentée par 

 M. Emile Picard. 



Soit F une surface de genres p a = y J »„=o, P„ = i. M. Enriques (') a 

 montré qu'une pareille surface possède une courbe bicanonique d'ordre 

 zéro et a les genres p a = p f ,= P., = P ; = . . . = o, P, = P„ = P 6 = . . . = i, 

 p( , )=T. Une involution appartenant à la surface F est rationnelle 

 (/>„=P 2 = o) ou a également les genres p a = /> g = o, P = i. Dans ce 

 dernier cas, l'involution ne possède qu'un nombre fini de coïncidences. Je 

 démontre le théorème suivant : 



Une involution I„, d'ordre n et de genres p n = p., = o, P„ = i , appartenant 

 à une surface F de genres p a = p ? = o, P 6 = i est : 



i ° Cyclique ou composée avec une involution cyclique ; 



2° Son ordre n n'admet comme facteurs premiers que deux et trois. 



Pour démontrer la première partie de cet énoncé, je considère un 

 système linéaire complet |c|, simple et de genre - ^> 2. Je suppose de plus 

 que les courbes C ne sont généralement pas hyperelliptiques. Dans ce cas, 

 il résulte des tcavaux de M. Enriques que | c | a le degré 27: — 2, la dimen- 

 sion iï — 1 et est dépourvu de points-bases. Soient k les courbes qui corres- 

 pondent aux C dans la transformation (/i- — 1, n — 1) déterminée sur F 

 pour I n . J'établis que le système complet \k\ (continu) a la dimension 

 >~ — 1. Il résulte alors d'une remarque faite par MM. Enriques et 

 Severi (dans leurs recherches sur les surfaces hyperelliptiques) ( 2 ) que si 

 I„ n'est ni cyclique, ni composée avec une involution cyclique, les C passent 

 pour des points de coïncidence de I„. C'est ce qui n'a pas lieu puisque | c | 

 n'a pas de points-bases. 



Pour démontrer la seconde partie de l'énoncé, il suffit de prouver que si 

 l'on a une involution l p , d'ordre premier/), de genres p a = p„= o, P c = i, 

 sur F, p est égal à deux ou trois. 



Indiquons par T la transformation de F en elle-même, de période p, Irrationnelle, 

 qui engendre l p . Considérons, ce qu'il est toujours possible de faire, un système com- 



(') Memorie délia Socielà italiana délie Scienze, 1906. 

 1 1 Ida mathematica. 1909, t. XXXII et XXXIII. 



