SÉANCE DU 28 AVRIL IC)l3. l3(>7 



plet |A|, de genre tu, simple, sans points-bases, tel que T transforme une courbe À en 

 une courbe A. Formons alors le système |B| = |yt>A|, incomplet, dont chaque courbe B 

 est transformée en elle-même par T. Ce système |B | a le degré ip- (7: — i),legenre 

 /) 2 (7i — O -1-1 et ' a dimension p (t: — 1 ). Bapportons projectivemenl les B aux hyper- 

 plans d'un espace linéaire à p(it — t) dimensions. On obtient une surface <ï» en cor- 

 respondance (i,/>) avec F. $ est donc une surface représentative de I p , elle est d'ordre 

 2 p (71 — 1 ) et ses sections hvperplanes, T. sont de genre p ( tt — 1 ) -t-i . 



Soit P un point de coïncidence sur F, soit P' le point de diramation correspondant 

 sur <I>. En considérant les A passant par P, on forme des courbes B ayant en P un 

 point />-uple à tangentes variables. Au moyen de la formule deZeuthen, on établit que 

 si p = 2, et seulement dans ce cas, la transformation T laisse invariants les points 

 infiniment voisins de P. 



On établit ensuite, toujours au moyen de la formule de Zeulhen, que les B passant 

 pour P ont en ce point un point double dont les tangentes sont fixes si p > 2. En P', <I> 

 a un point double. Les courbes B assujetties à loucher une troisième direction en P, 

 lorsque p > 2, acquièrent en ce point un point p-up\e. On en déduit/) — 3. 



Si p = 2. P' est un point double conique pour <I>; si /> = 0, P' est un point double 

 biplanaire ordinaire. 



En comparant les valeurs de l'invariant de Zeulhen-Segre de $ et de F, 

 on détermine le nombre de points de diramation de $. Ce nombre est quatre 

 pour/? = 2, trois pour/? = 3. 



Un raisonnement analogue conduit à cet autre théorème : Si sur une sur- 

 face de genres p 2 = P 4 = 1, on a une involution de genres p a =- p s = o, P = 1 

 et d'ordre premier, cet ordre est égal à deux. 



ANALYSE mathématique. — Sur la série de Fourier d'une fonction à carré 

 sommable. Note de M. G. -H. Hardy et J.-E. Littlewood, présentée 

 par M. Hadamard. 



I. Soit /(m) une fonction de u, sommable et possédant la période 2-, et 

 envisageons une valeur ordinaire x de «, c'est-à-dire une valeur de u pour 

 laquelle l'expression 



s= -[/(x-ho) -t-/(X — o)] 



a une valeur déterminée. On sait, d'après un théorème connu de M. Féjer, 

 que la série de Fourier 



- A -i- 1 A,„ = -a -h 2(a,„ cosmu -h b m sinma), 

 de/^«) est sommable pour u ■=. x par les moyennes de Cesarô du premier 



