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ordre, et a la somme s. C'est ce que nous pouvons exprimer en écrivant 



.. (•«,>— s) + (Si — s) -h ... -h (s n — s) 



ou 



s,„= -A„+ A, + . . .-+- A,, 



2. On doit à MM. Lebesgue, Marcel Riesz et Chapman des généralisa- 

 tions très intéressantes du théorème de M. Féjer. Nous avons trouvé, pour 

 les fonctions à carré sommable, un résultat d'un caractère un peu différent. 



I. Le carré de f(u) étant sommable, on # , pour u = as, 



,. (s ll —sy--h(s, — sy--h.. .-±(s n — sy 2 



li m = o, 



// -+- r 



et 



«o — * I + | *l — S | -+- . . . •-•- | .«„ — .« | 



I rn 



n -+- i 



La seconde égalité est un corollaire de la première, comme on le voit 

 immédiatement en faisant application de l'inégalité de Schwarz. 



Il est convenable, pour la démonstration de notre théorème, d'envisager, 

 au lieu de s n , l'expression 



-A„-t- A, -4-.. .-t-A„,_,+ -A,„. 



2 2 



Il suffit évidemment de démontrer notre résultat pour S„; et l'on peut sup- 

 poser, sans restreindre la généralité, que s = o. Cela étant, on trouve, par 

 l'application des formules de Fourier, les relations 



S„= - / f(u -+- se) — cot-tt sin nu du, 



71 / ' 2 2 



00 



2 r(i — r 2 ) sin«9 

 S„ /■" sin n 8 =: — - 

 7Ï 



u cos 2 — u du 



X / / ( U -+- X ) 



1 — T. 



[ i — 2r cos (9 — u ) ■+■ r-] [ I — 2 /• cos ( 9 -+- u) -+- /•- ] 



oùo</ , <i. De la dernière relation on peut déduire qu'à tout nombre £ > o 

 correspond un nombre o ^> o, tel que 



ys„r» S inJ<J v /pZU \jialL — 1, 



^ LV V 1 — '! ' — 2/'" C0S2Ô H- /' J 



