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Nous allons rechercher ce que devient cette intégrale, lorsque le coef- 

 ficient de viscosité A = 2« 2 À est très petit; il faut pour cela, obtenir les 

 valeurs asymptotiques des fonctions précédemment désignées par $(y,i) 



et &(.X» t )j lorsque t= j est très grand. En partant des expressions de 



ces fonctions que nous avons données sous forme d'intégrales définies, on 

 peut démontrer qu'on a 



,tOO 



$(y,z)r^>- I e~ f "**(<x sin az ■+■ cosoct) cosar r/a, 

 ■ o 



Ç)(y> r ) nu I e~ Jya -'- cosxy da, 



les signes ~ indiquant des égalités asymptotiques où les termes négligés 

 sont, quel crue soit y, au plus de l'ordre de -7-^-. = ; — n — - pour la pre- 



1 * u l Au- {■(] ■+- _i«- At)~ l L 



z Sa 3 l' 2 t 



mière, et de l'ordre de —^= = , pour la deuxième. Or, ces 



\/0' s v/(ï)' + 4a 2 Af) 3 

 dernières intégrales sont faciles à calculer ou se ramènent à une fonction 



connue et l'on trouve, en revenant aux variables primitives, 



[f ^T'X" 



a Jtz 



a \/n 



v^ + 4 



a-lt 



al 



7 — 7T _ :(' r — s "+■ at ) 



al 



^a*lt 



{je — i -+- al) 



[.v—\-t-nti , > 

 l,r— X — al\' 



al l) 1 J 



,VT É ' + * <r'A/ 



e- a ' ofa. 



\ ïJ'-i-lrt'A ' 



Dès lors, après changements de variables, l'égalité (4) (') nous donne 

 comme expression asymptotique de l'intégrale que nous représenterons 

 par <p(j7, t, A) 



A a 



2 yV 



(2) <p(ar, t, A)~> — -ip / /(.z:-+-af -+■ a y 7 ?] + 2Af)( 1- 



a y'r) -+- 2 A t 



-H /(.*•— a^ -H a \/ïJ -H 2A') ( 1 H " ) e _ *'da 



\ a V r ' ■+■ 2 A'/ J 



, /- r +«' /•» 



H ;= / ^c / àK?-+- a v'-o'+2A/)e- a!, cifa, 



2a\fitJjc- at •/_„ 



égalité où les termes négligés sont au plus de l'ordre A 2 . 



(') Comptes rendus, t. 156, 21 avril 1913, p. 1221. 



