SÉANCE DU 5 MAI I9l3. l35p 



et cela, en général, d'une manière uniforme par rapport à l'argument de s, 

 /et L étant finis et différents de zéro ('). 



La série de Fourier, qui en est un cas particulier, est une série pério- 

 dique. Nous nous sommes proposé d'abord de chercher si cette propriété 

 n'appartient pas à d'autres développements de Cauchy. 



Pour ces développements on peut envisager la périodicité à deux points 

 de vue : i° les coefficients de eV* ne changent pas quand on passe d'un 

 intervalle au suivant; 2° les coefficients changent, mais de telle façon qu'en 

 chaque intervalle le développement initial reste encore un développement 

 de Cauchy. 



Ceci étant, on trouve quel que soit n entier et positif : 



*¥>= -JZll + fiifl; U«4Û e *-=o; lin.^— 'i«"»= o. 



ir(«) e»-i >/(;)' q(z) ' j(— z) 



On voit donc que la série de Fourier n'est pas la seule série exponentielle 

 qui soit périodique. 



M. L. Féjer {Math. Annalen, t. LY1II) a prouvé que la série de Fourier 

 est sommable par la méthode de la moyenne arithmétique. Nous voulons 

 faire voir que la propriété reste vraie pour le cas où 



7t(*)=P(s)««+Q(s)«-» I V(*) = «-»Q(«), 



P(s) et Q(-) étant deux polynômes de même degré. Pour ce cas, qui 

 comprend tous les développements rencontrés par Fourier, H. Poincaré 

 a montré que les conditions (i) sont satisfaites (Propagation de la chaleur, 

 p. 218). 



Remarquons d'abord que si les fonctions entières />(-) et y(s) satisfont 

 aux conditions 



'/(-■) '/(-=■) 



les autres parties des conditions (i) étant aussi remplies, la série 



représente zéro sous la seule condition que f(x) soit bornée et intégrable 

 Cela étant, soient A et B les coefficients du terme le plus élevé de P(s) 



(') André Léauté, Comptes rendus, 27 novembre 1911 et 2 janvier 1912, et Emile 

 Picard, Comptes rendus, 17 juin 1912. 



