SÉANCE DU 5 mai io,i3. l36l 



En particulier, faisant \ = x, en retranchant les deux premières et en 

 ajoutant les deux dernières, on trouve les séries (2); et Ton voit pourquoi 

 M. Buhl, en faisant la sommation soit ordinaire, soit de Cesàro, trouvait 

 comme intégrale singulière celle de Fourier ou celle de M. Féjer, où la 

 fonction était remplacée par f(x) multipliée par un cosinus ou un sinus. 

 En ce qui concerne l'étude" dans un intervalle quelconque, c'est le para- 

 mètre À qui reçoit une autre valeur. Pareillement les séries trigonomé- 

 triques généralisées de M. Buhl se déduisent de la série de Fourier de la 

 même manière que les séries (2). 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur la fonction de Green du cylindre indéfini. 

 Note de M. G. Boui.igaxd, présentée par M. Hadamard. 



Considérons un cylindre indéfini à section droite fermée. Nous suppo- 

 serons qu'on a pris pour axe Oz une parallèle aux génératrices. Soit 

 P(x, y, z) un point fixe quelconque intérieur au cylindre. On sait aujour- 

 d'hui démontrer l'existence d'une fonction G(M, P) remplissant les condi- 

 tions suivantes : 



i° L'expression G(M, P) — 7-777 est une fonction harmonique des coor- 

 données ï, Y], '( du point M dans tout le cylindre; 



2 La fonction G s'annule quand M est situé sur le cylindre. 



Cette fonction G s'appelle la fonction de Green du cylindre indéfini : c'est 

 une fonction symétrique des deux points M et P. De plus, il est clair que 

 les variables r- et '( ne figurent dans son expression que par leur différence 

 z — '(. Il en résulte qu'on a 



dG dG 



f)z <K 



De cette équation résultent quelques conséquences assez curieuses : entre 

 autres, une relation entre la fonction de Green G du cylindre et celle g de 

 sa section droite, et aussi un théorème d'addition de G par rapport à la 

 variable ; — '(. C'est ce que je me propose d'indiquer ici. 



Soient une section droite (S) que nous prendrons pour plan ocOy, M un 

 point de cette section droite (alors '( = o). Le plan (S) divise la surface du 

 cylindre en deux régions, 2 du côté des cotes positives et £' du côté des 

 cotes négatives. Considérons toutes les fonctions harmoniques (H) définies 

 à l'intérieur du demi-cylindre (S, 2) et s'annulant sur 2; une fonction (H) 



