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sera assujettie en outre à s'annuler à l'infini en même temps que ses dérivées 

 premières. Cela posé, une fonction (H) sera déterminée par l'une ou l'autre 

 des conditions suivantes : 



i° Elle prend des valeurs données sur (S); 



2° Sa dérivée normale le long de (S) possède des valeurs données. 



Il est facile de passer de l'une de ces conditions à l'autre. Soient U et V 

 les valeurs que prennent respectivement sur (S) une fonction (H) et sa 

 dérivée normale intérieure. Le point P étant supposé dans le plan S, on 

 démontre facilement qu'on a 



(2) U(P)=-~ /Yv(M)G(M, P)oS M , 



(3) V(P)=. -Î-A /Yu(M)G(M,P)</S M , 



A désignant le symbole à deux dimensions 



/ (S) 



d* à 2 



Â~i + XT 



ôx- dy" 



Chacune des formules (2) et (3) constitue une équation fonctionnelle, 

 dont la solution est donnée par l'autre (ceci sous des conditions de régu- 

 larité assez larges remplies par U et V). 



Dans (2) remplaçons V par sa valeur tirée de (3). Ceci conduit à une 

 identité qui doit être vérifiée quelle que soit la fonction U. L'application du 

 lemme fondamental du calcul des variations conduit alors à l'équation 



AyyG(M,P)G(M,Q)rfS M =o 



[les points P et Q étant encore dans le plan (S)]. 

 La fonction 



<p(P,Q) = ^yy > G(M ) P)G(M,Q)rfS 11 



est donc, quand on regarde Q comme fixe, une fonction harmonique de P 

 dans le plan (S). De plus, elle s'annule sur le contour (C) de (S) et devient 



infinie en Q comme log^- D'où l'identité 



(4) 5^//G(M 1 P)G(M,Q)dS M =*(P,Q). 



Remarquons en outre que le second membre de l'équation (3) est une 

 certaine opération linéaire, effectuée sur la fonction 15. Représentons sym- 



