SÉANCE DU 5 MAI 1 9 1 3 . I 363 



boliquement cette opération par £2(U). On a 



<~>[£(U)]= — AU; 



ainsi, en appliquant deux fois de suite à U l'opération intégro-difieren- 

 tielle Q, on retombe, au signe près, sur son laplacien. 



Proposons-nous maintenant de calculer o(P,Q) lorsque les points P 

 et Q sont en dehors du plan (S). Par une symétrie, on peut toujours se 

 ramener au cas où ils seraient de part et d'autre de (S). Supposons, par 

 exemple, la cote s de P positive et la cote z, de Q négative. Considérons 

 celle des fonctions (H) pour lesquelles on a 



V(M) = G(M,Q), 

 cette fonction est précisément — ?(P> Q)- On en déduit aisément qu'on a 



(5) / G(P.,Q) dz — <f{P,q), 



ceci donne une seconde démonstration plus directe de la formule (4)- En 

 effet, o est une fonction continue de s et de s, quand ces quantités tendent 

 vers zéro, la première par valeurs positives et la seconde par valeurs néga- 

 tives. Quant au premier membre, pour ^ = 0, z, = o, il se réduit bien à 

 g(P, Q), ainsi que le montre la formule suivante due à M. Paul Lévy (') : 



ijr 



G(P,Q)rf*=^(P,Q). 



L'équation (5) dérivée par rapport à z nous donne 

 (6) G(P,Q)=--L|: (Y G(M,P)G(M.Q)rfS„. 



'|S) 



Nous obtenons ainsi un théorème d'addition de la fonction G par rapport 

 à la différence des cotes des deux points : naturellement, la dissymétrie du 

 second membre n'est qu'apparente. La fonction de Green du cylindre indé- 

 fini possède donc un théorème d'addition intègro-diffèrenliel. 



(') Sur la fonction de Green du cylindre de révolution {Rendiconti di Palermo^ 

 23 juin 1912, p. 8). 



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