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sphériqucs, indique que, lorsque le nombre des variables augmente indéfi- 

 niment, la fonction à développer ne dépendant que d'un nombre déterminé 

 de variables, ses résultats rentrent dans ceux qu'Hermite a donnés relative- 

 ment aux polynômes qui naissent de la dérivation d'une exponentielle dont 

 l'exposant est une forme quadratique (Comptes rendus, t. ô8, 1864, p- 93 

 et 266). 



Je me propose d'attirer l'attention sur ce fait que les polynômes V m „ 

 qu'Hermite a déduits de la fonction génératrice 



1 — 2 ax — 2 h y -+- a- -+■ b 1 



puis les polynômes analogues qu'il a étudiés (Comptes rendus, t. 60, i865, 

 p. 370, 432, 461 et 5i2 ; Annales scientifiques de l'École normale supérieure, 

 i re série, t. II, i865, p. 49? et Œuvres, t. II, p. 3og, 3i3, 3ic)) et que Didon 

 a généralisés (Annales de l'Ecole normale supérieure, t. 5, 1868, t. 6, 1869, 

 t. 7, 1870), sont des cas particuliers de fonctions sphériques, sur des hyper- 

 sphères dans des espaces à plus de trois dimensions. 



Les points essentiels sont les suivants. On sait que la fonction 



(2) < T = ( JC \ + jcl-i-... + J ;uJ- r 



vérifie l'équation (1). Les dérivées de cette fonction, telles que 



II/h, Uni, ...Ilm„ d-z'?' dx™> . . . dx™- 



T. 



prises par rapport aux variables autres que x n+l , sont également des 

 fonctions vérifiant l'équation (1), et, sur l'hypérsphère 



x\ ■+■ x\ ■+- . . . -+- xl +1 — 1 . 



elles deviennent, par l'élimination de x n+l , des polynômes V „, mn 

 enx,, x 2 , ..., x n définis parla fonction génératrice 



1 — n 



(3) (1 — 2a,x, — 2a 2 x, — . . .— 2a„x„-+- a\-tal-\-. . .h- al) - ^ 



— ^.a'"<a'"- <7"'»Y 



La formule de Green généralisée, comme il est connu, donne alors le 

 théorème suivant : Si V et V sont deux de ces polynômes, de degrés diffé- 

 rents, l'intégrale «-uple 



(4) f\y dx t dx,...dx n 



V 7 ' — x ] — v \ — ■ • • — r"û 



