SÉANCE DU l3 MAI Ï9l3. 14/19 



du groupe modulaire d'un corps quadratique réel quelconque. Les deux 

 points de vue sont également intéressants et font ressortir l'analogie des 

 entiers d'un corps quadratique réel y/Â et des entiers ordinaires. Nous dis- 

 tinguerons deux types de formes binaires définies, une forme <f(a?, y) 

 définie, du corps \ ! A, étant parfaitement ou imparfaitement définie, suivant 

 que sa conjuguée <p'(x',y') dans ce corps est définie ou indéfinie ; nous dis- 

 tinguons de même des formes parfaitement ou imparfaitement indéfinies. 

 Si nous considérons des couples [<p, <p'] de deux formes binaires conjuguées 

 du corps y/Â", 



y(x, y) = ax ï + ibxy +• cy-, ©'(■«', y') = a'x' 2 + ib' x'y' 4- c'y' 2 , 



en désignant, d'une façon générale, le conjugué d'un entier du corps \ ! A 

 par la même lettre que cet entier, mais accentuée, il existe trois types de 

 couples : défini, mixte, indéfini, suivant que les deux formes œ et cp' sont 

 toutes deux définies ou bien l'une définie et l'autre indéfinie, ou, enfin, 

 toutes deux indéfinies. 



Effectuons sur as, y, x' , y' la substitution unimodulairc 



I = (.r, j, x', y' ; «X + (3Y, yX + ÔY, a'X' + (3'Y', /X' + o'V), 



a, (3, y et sont entiers dans le corps y/Â et ocS — (3y = i- Les deux formes 

 œ et f' se changent en deux autres formes binaires, $(X, Y ) el*I>'(X', Y'), du 

 corps y/ A qui sont conjuguées et ont respectivement même discriminant 

 D = ac — b- et Y)'~a'c'—b'- que ç et <p'. <ï> est dite équivalente à <p; 

 le couple [$, <l>'| est dit équivalent au couple fop, <p']. Deux formes équi- 

 valentes sont de même type et ont même discriminant; on est conduit à la 

 notion de classe, au problème de la réduction. 



1. Au cours de nos recherches sur la théorie des fonctions abéliennes, 

 no'us avons pu formuler le principe très général suivant : 



Le système des fonctions abéliennes simplement singulières §(u, v), dont 

 les périodes normales vérifient une unique relation singulière d' invariant essen- 

 tiellement positif et non carré parfait /|A s' 'il est pair (on suppose en outre 

 dans ce cas A ^ 1 mod 4) et A, s'il est impaii , joue par rapport aux entiers du 

 corps quadratique réel y A le même rôle qu'un système de fondions elliptiques 

 par rapport aux entiers ordinaires. 



Ce principe permet l'extension à ce corps réel y/A de tous les problèmes 



