l430 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



et de toutes les notions que viennent présenter les fonctions elliptiques dans 

 le corps des entiers. 



La multiplication complexe des fonctions ?(«, p) conduit à distinguer 

 des fonctions $(u, c) de multiplication complexe analogues aux fonctions 

 elliptiques de même nom, et dont les paramètres complets \ et Y] des périodes 

 normales vérifient deux équations conjuguées du second degré : 



A i- 4- 2 B£ 4- C = o, A.V 4- 2B'yH- C' = o, 



les deux formes A.r 2 -+- iB.ry 4- Cy- et A'x' 2 4- zB'x'y' 4- C'y'' étant deux 

 formes binaires conjuguées parfaitement définies du corps V A- Nous ne 

 pouvons développer ici ce sujet; signalons simplement que l'équi- 

 valence de ces formes parfaitement définies se présente aussi de la même 

 manière que celle des formes binaires définies ordinaires dans la théorie 

 des fonctions elliptiques de multiplication complexe. On a ainsi une 

 nouvelle application du principe précédent. 



3. Sous sa forme géométrique, le procédé de réduction que nous propo- 

 sons repose essentiellement sur ce que les substitutions (i) forment un groupe 

 isomorphe au groupe modulaire (G) (où l'on ne considère que les trans- 

 formations droites) du corps \/A. Ce groupe étant un groupe hyperabélien, 

 il résulte de propriétés élémentaires de la réduction continuelle des formes 

 quadratiques et des travaux de M. Picard, qu'il a un domaine fondamental 

 dans l'espace à quatre dimensions ou, ce qui revient au même, dans l'en- 

 semble des demi-plans analytiques (;,>o), (Tf]i<C°) de deux variables 

 complexes i; =Jj 4- i\ { el y) = y) 4- îi\ t ; ce domaine (D) n'a pu être cons- 

 truit, mais on sait qu'il n'a qu'un seul point à l'infini (;, et Y], infinis) et 

 aucun point commun avec la frontière (2j, = o, yj, = o). 



Soit o une forme parfaitement définie de discriminant positif D; 



D' est aussi positif. A cette forme <p ou au couple défini [o, <p'], faisons 



11 • / \ / ii • 1 • \ r b -\-i <J — D 

 correspondre le point (m) (couple de points analytiques): ç=" > 



— b'iJ^Ty . ., „ , , . 



Y] = ; en supposant a et a positifs. Deux tonnes équivalentes ont 



comme images deux points équivalents dans le groupe (( < ). Si (m) est dans 

 le domaine (D), s est réduite. On vérifie aisément que : 



Le nombre des classes de formes binaires parfaitement définies de discrimi- 

 nant positif donné est fini. A chaque classe correspond une et une sertie forme 

 réduite. 



Soit [<p, cp'] un couple mixte; supposons, par exemple, D positif el D' 



