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Parmi ses résultats, il considère comme le plus essentiel le théorème 

 suivant, qu'il démontre aux paragraphes 4-6 : I. Soit y un nombre irrationnel, 



x 



\ = e 21l ' Y . On suppose que la série 7 |/;„| converge. Alors, x tendant i^ers \ sur 



n= 1 



le rayon vecteur issu de o, 



x 



(1) lini I 1 — 7- 1 L(jt) = o. 



M. Knopp constate en outre que : II. L'égalité (1) a lieu plus générale- 

 ment lorsque x s'approche de \ dans l'angle 



a < arc ( 1 — j \ < (3, 



OÙ 



71 . 71 

 <«<£<-, 



2 a 



pourvu qu'on fasse pour y /a restriction que les dénominateurs partie/s de sa 

 fraction continue soient bornés. Il remarque enfin que : III. Le même résultat 

 \ équation (1) j subsiste dans Vangle en question du moment que q s = o(^_ 2 ), 

 où q s est le s wme dénominateur partiel, k s le dénominateur de la s"" 10 réduite. 



Je démontrerai dans ce qui suit que : I . L'égalité ( 1 ) a lieu dans l'angle dont 

 il s'agit sans aucune restriction pour le nombre irrationnel y, et cela non seule- 

 ment dans l'hypothèse de M. Knopp que > | b n \ converge, mais même si l'on sait 



n=l 



seulement que /J—^ converge. II. Dans les hypothèses du théorème 11 de 



n = 1 



M. Knopp, on a déplus dans cet angle 



(2) 



L(a) = o. 



III. Dans les hypothèses du théorème III de M. Knopp, ou même si q s = 0(X^_, ) 

 [ au lieu de o(k s _., s ) \, on a, dans le même angle, 



(3) lim 1 — - L(.r)=ro. 



1 ; 4 



Démonstration. — Je suppose que ^ — — converge. Alors, pour \x\ < 1, 



n = l 



L(*)=,2^2* - =2«..-=2 fl -«"(f)"=i e -(î 



