SÉANCE DU 19 MAI I()l3. l5l3 



GÉOMÉTRIE. — Nouvelle formule approchée de la longueur de l'ellipse. 

 Note de M. Rodolphe Soreau, présentée par M. Appell. 



. I. Certaines considérations sur la formule de Wallis m'ont conduit 

 à imaginer, pour la longueur L de l'ellipse, la formule simple 



L = [î a —. — ; — > avec k = T ■ 



sin A 7r a ■+■ b 



Exacte pour b = a et pour b = o, cette expression est approchée par 

 défaut pour les valeurs intermédiaires, avec une erreur relative très 



faible, et dont le maximum, qui se produit sensiblement pour b = -=, est 



de 7iïïïï environ - 



La qualité d'une formule approchée ne dépend pas seulement du degré 



d'approximation qu'elle comporte dans les évaluations numériques. En vue 



des substitutions auxquelles on peut être conduit dans les développements 



mathématiques, il est important qu'elle ait la même allure générale que la 



fonction exacte. 



Celle que je présente a cet avantage. En effet, portons p = - en abscisses 

 ety= — en ordonnées; la courbe rigoureuse et la courbe approchée ont 



non seulement les mêmes extrémités (p = o, y ^= 4), ('f> = ' >.">' = ' 27Z )i mais 

 encore mêmes tangentes à ces extrémités, les coefficients angulaires de ces 

 tangentes étant o el 1; en outre, pour les deux courbes, les ordonnées 

 croissent de 4 à 271. 



Il n'en est pas de même des formules, d'ailleurs très approchées dans une 

 région fort étendue, qui sont tirées de l'expression générale de Landen, 

 comme celle de M. Boussinesq et celles de M. Williot, où l'erreur croit 

 avec l'excentricité e. A partir d'une certaine excentricité, elles donnent des 

 écarts inacceptables, et suivent une loi tout autre que la fonction exacte. 



Ainsi la formule bien connue de M. Boussinesq 



L = 7r-(a+6) — \fâb 



est excellente depuis e = o jusqu'à ^ = 0,9; mais, au delà de e = 0,95 

 (p = o,3i2), elle s'écarte notablement de la fonction exacte; alors que 



