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On peut déduire de cette équation la variation de <&'„(s), le déplacement 

 du point considéré étant normal à la courbe C. En remplaçant S<ï> par sa 

 valeur (i), la relation obtenue prend la forme 



(3) dV n (s) = lî(§V u ) + L(du) + L l (3n), 



H, L et L, étant des fonctionnelles linéaires, dont la forme dépend de $, s, 

 de la ligne C, et des fonctions u et <&' u . 



Nous dirons que deux fonctionnelles linéaires E(m) et C (u), dont la 

 forme dépend de s, sont adjointes l'une à l'autre si l'on a 



fr{s)E(i,)ds= fu{s)C'v)ds, 



les fonctions «(5) et v(s) étant quelconques, ou du moins étant seulement 

 soumises à certaines restrictions relatives à leur continuité et l'existence de 

 leurs dérivées successives. Une fonctionnelle linéaire donnée, en debors de 

 certains cas singuliers que nous supposerons écartés, a une adjointe et une 

 seule qu'on peut toujours former aisément. 



A l'aide de cette définition, nous pouvons énoncer le résultat suivant : 

 La condition nécessaire et suffisante pour que l'équation (2) soit complètement 

 intégrable est que l'expression 



H KC*»)] + H [* K °n] + L, ( on ) - <i»;, ïji — 



(^_ étant l'adjointe de L et k la courbure de C) soit identique à son adjointe. 



Supposons cette condition vérifiée, et chercbons à étendre à l'équa- 

 tion (2) la notion de caractéristique. On peut être guidé dans cette étude 

 par l'analogie entre cette équation et un système de n équations aux déri- 

 vées partielles vérifiées par une fonction de in variables indépendantes. 



Donnons-nous, pour cbaque courbe C, une détermination v de w, et 

 imposons à $ de prendre pour u = v une valeur donnée $ . Les variations 

 de v et de $ étant représentées par 



dv^K(èn), ô4> = <p(s)dnds, 

 de 



Q>' u et $^ sont déterminées, pour u = c, par l'équation (2) et l'équation 



(4) ?(*)=•;(*) +ac(»i), 



3t étant la fonctionnelle adjointe de K. 



