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SÉANCE DU 19 MAI I9l3. l5l7 



Si l'élimination de $<&'„ entre l'équation (/j) différentiée et l'équation (3) 

 conduit à une équation en o<$' u qui se ramène à une équation intégrale de 

 deuxième espèce, il est facile de définir le déterminant fonctionnel des 

 équations (2) et (4) par rapport à <ï>^ et $,',. S'il n'est pas nul, moyennant 

 certaines restrictions sur la nature analytique des données, il existe une 

 détermination de $ et une seule vérifiant les conditions données. S'il est 

 nul, on peut dire que les données constituent une caractéristique. Il n'existe 

 pas alors en général d'intégrale régulière, c'est-à-dire représentable par 

 une série analogue à celle de Taylor, vérifiant les conditions données, et 

 s'il en existe, il en existe une infinité. 



Les équations en o<f>' u et £<!>,', peuvent même se réduire à une seule. Dans 

 ce cas, la caractéristique considérée sera ài[ede première espèce. Une pareille 

 caractéristique est définie par les équations 



SU — — 3t(8rt), <M>= f[Q' n (s) - II (4>;, )]8n§s, 



<3*'„ = >l{on) -+- k<S>' u on, Ô4»'„ = £ , ( on ) + /,<!»'„ 3C ( on ) + a*',, a' on' -+- — (*>' 



«', §«' étant des dérivées par rapport à s, et 3C, Cet£, étant les adjointes 

 de H, L et L,. 



Ces équations ne sont pas, en général, complètement intégrables. Mais, 

 à chaque détermination initiale de C, ;/, $, S>„, <&' n vérifiant l'équation (2) 

 correspond, moyennant certaines restrictions sur la nature analytique de 

 ces quantités, une intégrale et une seule des équations (5). Si l'on appelle 

 élément un ensemble de déterminations de C, u, $, <I>' U , $'„, on peut dire 

 qu'un élément vérifiant l'équation (2) définit une caractéristique de pre- 

 mière espèce. 



Les principaux théorèmes de Cauchy s'étendent à ces caractéristiques : 

 une intégrale de V équation (2), si elle, contient un élément d'une caractéris- 

 tique de première espèce, les contient nécessairement tous. L'intégration de 

 l'équation (2) se ramène à celle des équations (5). Donc l'intégration d'une 

 équation aux dérivées fonctionnelles partielles (du premier ordre), complè- 

 tement intégrable, se ramène à celle d'un système d'équations aux dérivées 

 fonctionnelles ordinaires. 



