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voulu nous recevoir à Tsarskoïe-Selo, et nous a dit l'intérêt qu'Elle prend 

 au grand observatoire astronomique qui va être créé à Taclikent, dans le 

 Turkestan russe. 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Les polynômes U„, „ Wllermile et leurs analogues 

 rattachés aux fondions sphèriques clans l'hyperespace. Note de M. Paul 

 Appeix. 



I. L'Académie voudra bien me permettre de poursuivre, dans une voie 

 plus étendue, les recherches de ma Note du i3 mai 191 3, relatives aux 

 polynômes V,„„ et à leurs analogues, et de montrer que les polynômes U,„ „ 

 et leurs analogues sont aussi des fonctions sphèriques, dérivant de poten- 

 tiels avec d'autres variétés de singularités. 



Pour préciser, je dois rappeler d'abord, sous une forme appropriée à 

 l'objet actuel, des faits bien connus. 



La fonction 



vérifie l'équation 



à'-T ,r-T d'T 



àx\ +x 



Pour m = 1, l'exposant est nul et la fonction T correspondante devient 

 un logarithme. On peut donc dire que, dans l'espace à n -+- 1 dimensions, 

 rapporté à n . + 1 axes rectangulaires O.r,, Ox 2 , ..., Ox, l+l , il existe n fonc- 

 tions simples des coordonnées vérifiant l'équation (2), à savoir 



(3) 



' n 1-1, n 1 1 — ( r î ^ ' r ï "+-'■•■-+■ ' r H+i) 



T„, .,.„ =(.rl + x\ -H. . . + #*„) 



t,,,,,, =(*» + *«+... + *;; 



n —•! 



T„+i,, = lo-(.r; + x\). 



Le premier indice n -+- 1 désigne le nombre des dimensions de l'espace 

 considéré et le second s le nombre des carrés de fonctions linéairement 

 indépendantes que contient la fonction T n+M . Quand on écrit les fonc- 



