SÉANCE DU 26 MAI I9l3. l583 



tions T sous la forme(3), il manque, dansT„ +) <t , n + i- s des coordonnées ; 

 mais on peut les y faire apparaître toutes, en faisant un changement quel- 

 conque d'axes rectangulaires, dans l'espace à n -+- 1 dimensions, défini par 



une substitution orthogonale 



x p =k p +<x pl y 1 -i- cc,,,y. 2 -h. . . + a pl , +l y n+i (p = 1, 2, ...,/* -+- 1). 



Les fonctions T n+M contiennent alors toutes les variables y,, : elles cons- 

 tiLiicnL n types de fonctions harmoniques dans l'espace à n + 1 dimensions. 

 On peut dire que la fonction T^ +)| , rapportée à des axes rectangulaires 



quelconques, est égale à la puissance — — ^— de la somme des carrés des 



distances d'un point à s variétés linéaires à n dimensions(hyperplans) dans 

 l'espace à (n -+- 1) dimensions. Elle devient infinie sur la variété linéaire à 

 (n . -+- 1 — s) dimensions constituée par l'intersection de ces hyperplans. 

 Par exemple, dans l'espace à quatre dimensions or, y, z, /, (n = 3), en 

 désignant par 



^_<yr+ fr„,K + C ,, s +</„/ + *, (/> = fi2)3)) 



\/a p +b p -hc p +dl 



«ifl,+ &, b-2 -+- C] c 2 -t- d, d-i = o, 



"i"i + b t b a + CoC 3 + e? 2 d 3 = o, 



o 3 a, + b i b x + f 3 c, -t- d 3 d x = o 



les distances du point .t, y, s, £, à trois hyperplans rectangulaires fixes, on 

 a les trois fonctions types 



T t>4 = [(a; -«)*+(/— b)'-.+ (z-c)"-+(t-dy]-\ 



t*.» = < *ï -1- a; -h a; >"*, 



T tfl =log(3ïH-3ï). 



II. Ces faits étant rappelés, nous avons montré que les polynômes V„,„ 

 d'Hermite sont, sur l'hypersphère 



des fonctions sphériques déduites de T 4 4 ; nous allons montrer que les 

 polynômes adjoints U„,„ d'Hermite sont, sur la même hypersplière, des 

 fonctions sphériques déduites de T 4)3 . 



En effet, considérons les trois hyperplans rectangulaires, dans l'espace à 



