I 584 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



quatre dimensions x, y, z, t, 



n.r -t- by — i — i), 

 z =o, 

 / = o. 



Si l'on appelle o,, S 2 , o 3 les distances d'un point x, y, z, / à ces trois 

 hyperplans, la fonction T 4j3 devient, à un facteur constant près, 



T 4 , 3 =[(«.r + 4/-i)'+((i'+ b*}{s*+P)] '. 



En développant cette fonction harmonique suivant les puissances posi- 

 tives de a et b 



on voit que les U^!*' sont des polynômes homogènes et de degrés m -+- n 

 en x,y, z, t; l'homogénéité devient évidente si l'on remarque que le déve- 

 loppement ne change pas quand on remplace x, y, z, i par ~kx, "ky, As, \l 



et a, b par =-> *•■ Ces polynômes U^j* 1 vérifient, comme T., 3 , l'équation 



d*T d ! T d*-T d 2 T __ 



ce sont donc des polynômes harmoniques; ce sont d'ailleurs des polynômes 

 spéciaux puisqu'ils ne dépendent de s et de / que par la combinaison z- + t' 1 . 

 Mais alors, si l'on prend les valeurs de ces polynômes sur rhypersphère(4), 

 en éliminant z- -h t' 2 par l'équation 



s I +f=i — a: i — y s , 



ces polynômes deviennent précisément les polynômes U mi „(a?, y) d'Uermile. 

 En effet, la fonction génératrice T 4 3 devient, par cette élimination, la 



fonction 



i 



[{a.r + by — i) 2 -f- («*-+- // 2 )(i — X'—y' 1 )) '. 



qui est la fonction génératrice des polynômes U ,„„(#, y) d'Hermite. 



Ees polynômes 11,„,„ et 1U,„.„ d'Hermite (') se rattachent de même aux 

 fonctions T 55 et T 51 . Il s'ouvre ainsi une voie nouvelle pour l'extension 

 systématique des résultais d'Hermite. 



(') Œuvres, t. Il, p. 335. 



