SÉANCE DU 26 MAI H-)l3. I 585 



En épuisant la question pour l'espace à quatre dimensions, on pourra 

 encore prendre deux hyperplans rectangulaires 



ax ■+- by + cs — 1 = o, 

 t = 0, 



et considérer le potentiel T ii2 formé avec les dislances o, et S 2 d'un point à 

 ces deux plans; ce potentiel est, à une constante près, 



T 4 ,,= Iog[(aaj + by -4- cz — i) 2 -+- (n 2 -+- b- + c 2 )f- 1. 

 En le développant suivant les puissances positives de a, b, c, 



T i ^=la'"b"cPU',- : f l ] ll [.r,y,z.ll 



on obtient des polynômes harmoniques homogènes de degrés m -+- « + p, 

 contenant uniquement des puissances paires de /. Par l'élimination de l 2 , 

 à l'aide de l'équation de l'hypersphère (4) 5 on transforme ces polynômes en 

 fonctions sphériquëS 



ayant pour fonction génératrice 



log[(fl.r + by -hcz — i) 2 4- (« 2 + b 1 + c 2 ) (1 - .r 2 — / 2 — s») ]. 



L'application du théorème de Grecn, dans l'espace à quatre dimensions, 

 au volume compris entre deux hypersphères de centre O, conduit, pour 

 deux de ces polynômes Y„,„, U,„„, Y,,;,', /( , I ','„'„ p , associés entre eux ou les 

 uns avec les autres, à la formule 



I 



dd/ dvdydz 



l'V -= n (1 — x* — y 



quand les deux polynômes P et P' sont de degrés différents. 



Je n'insiste pas ici sur la façon dont ces résultats peuvent être étendus 

 aux n types de fonctions sphériques ([non peut déduire des n fonctions 

 T ni ^ ls (s = 2, 3, 4, ..., n -h 1), dans l'espace à n -+- 1 dimensions. 



M. Ch. Lallbhand fait hommage à l'Académie du Compte rendu des 

 travaux effectués en 1912 par le Service du Nivellement général de la France. 



M. P.-C. Grand'Edry adresse les premières livraisons d'un Mémoire 

 intitulé : Recherches géobotaniques sur les forêts et sols fossiles et sur la végé- 

 tation et la flore houillères. 



