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A propos de cotte classification on peut faire la remarque suivante, évi- 

 dente d'ailleurs : Si le champ d'intégration double est un carré, le résultat 

 de l'intégration de K(s, t) est égal à celui de K(£, s), même pour le cas 

 K(.v, t) ^ K(/, s), c'est-à-dire pour le cas du noyau non symétrique. 



L'objet de cette Note sera de présenter quelques conséquences, qui 

 découlent de l'observation susdite pour les valeurs singulières de l'équation 

 intégrale à noyau non symétrique et les résultats ci-dessous obtenus géné- 

 ralisent dans un certain sens, ce semble, pour la transcendante de Fred- 

 holm, les résultats connus de Hurwitz(') àproposde la condition à vérifier, 

 afin que les parties réelles des racines d'une équation algébrique soient 

 toutes du même signe. 



L'existence effective des diverses classes des noyaux non symétriques 

 possédant les valeurs singulières permet de poser la question de la manière 

 suivante : Soit K(s, t) une fonction non symétrique, réelle, possédant une 

 valeur singulière À A , de sorte que 



(') fk{s) — l k f K(.s, t)(f k (t)dt; 



en posant 



substituons-les dans (1) et séparons les parties réelles et imaginaires, ce qui 

 nous donne 



<PJM (* ) = **,,./ K(5, t) a kA (t) dt — X/,,,, / K(s. t)c?, t .^_{t) d/, 



J a J a 



»ft lS (*) = A M / K(s, 0<p*,i(0* + *jm/ K (M)<p*,»(OA; 



"a "Ai 



après l'élimination de A A . 2 de deux équations obtenues, on a 



( 3 ) / [9*,i(^+Ç*,î(*)3* 



= **.i/ / K(M) [<p*,i<0 ?a,i'(*J + 9mCO ?*,!<*)] d*dt* 



d'où vient le théorème : Si le noyau symétrique ' ' est du type 



positif, les parties réel/es des valeurs singulières A A seront toutes positives ; elles 



(') Malhem. Annaten, t. XLV1. 



