SÉANCE DU 26 MAI IO,l3. i58g 



seront au contraire toutes négatives si le noyau symétrique susdit est du type 



négatif. 



Tl -, K.(s, D-hK(t.s) , , , . Jt „ . 



Il est a remarquer que, si le noyau - est en gênerai dejini 



au sens de M. Hilbert, c'est-à-dire n'est pas du type ambigu, les condi- 

 tions du théorème précédent seront non seulement suffisantes, mais encore 

 nécessaires, c'est-à-dire, le signe de X Ai , sera le même que celui du type du 



noyau défini symétrique - — ■ A présent, si I on élimine À A . 2 des 



équations (2), on obtient la relation suivante : 



o = h.2j J I — — ^ — { -^J-\ [<p^(*)<p*,t(0 + ?*,i(*)?*.«(0]*A 



,, , 1 .1 . - , ,, • K(s,t)-hK(t,s) 7 



a ou le théorème : Si le noyau symétrique — ' - 1 — - est non seulement 



défini, mais encore fermé au sens de M. Hilbert, on a X Ajî = o, c'est-à-dire les 



valeurs singulières A A . seront réelles, la transcendante de Fredliolm n'aura 



pas, en ce cas, des racines imaginaires; d'où, comme conséquence, on tire, 



1 -î '. • K(s, 1) -+- Kit, s) t , , . 

 par exemple, que si le noyau symétrique — ^ - jL — L ç^\.Jenne, les ra- 



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cines imaginaires peuvent surgir seulement quand ce noyau est du type 

 ambigu. 



Il va sans dire que, par cette voie, on peut obtenir d'un coup bien des 

 théorèmes connus, par exemple pour le noyau symétrique gauche, c'est- 

 à-dire tel que K(y, t) = — K(/, s); on s'assure immédiatement que la 

 transcendante fie Fredliolm n'a que des racines imaginaires pures, ré- 

 sultat connu d'ailleurs. 



Il est à prévoir aussi que le point de vue ci-dessus développé permettra 

 à un certain point de vue d'étudier les équations intégrales à noyau non 

 symétrique, ce que je chercherai à faire dans un travail plus étendu. 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Problème du développement d'une fonction 

 arbitraire en séries de Sturm-Liom'ille. Note (') de M. «I. Tamarkine, 

 présentée par M. Emile Picard. 



Dans une Note récente, M. L, Lichtenstein a résolu le problème du 

 développement d'une fonction arbitraire suivant les fonctions de Sturm- 



(') Présentée dans la séance du 28 avril 1 g 1 3. 



