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Liouville 



(2) 



r 



dV, . v 



— -, ftv,=:o pour ,r = a; 



dV * uv 



-j |-HV s rro pour .v=:ù: 



dx v 



(3) / pV?rf* = ±^ (+si>,.>o; - si ^<o). 



■'a 



L'analyse de M. Lichtenstein repose sur la théorie, due à M. Hilbert, des 

 formes quadratiques à une infinité de variables. Or on peut traiter le pro- 

 blème considéré d'une manière beaucoup plus simple, conformément aux 

 idées générales de M. W. Stekloff, et par une méthode que nous avons 

 employée dans l'étude de vibrations des verges élastiques ('). 



On suppose que p(x) soit une fonction continue qui peut s'annuler au 

 plus dans un ensemble de points de mesure nulle dans (a, b)\ q(x) soit une 

 fonction continue non négative dans (a, b); h et H soient des constantes 

 non négatives^ finies ou infinies. On peut énoncer alors la proposition 

 suivante : 



Toute fonction f(x) vérifiant l'inégalité connue de Lipschilz, jointe aux 

 conditions j \a) = /(b) = o, peut être développée en une série uniformément 

 et absolument convergente, de la forme 



(4) f(x)=y d A s \' s (x); A s =±fpfV s dx. 

 On peut poser 



f(x) = f <?(x)dx + C, 



o(x) étant une fonction bornée sommable et C une constante. Supposons, 

 pour plus de simplicité, 



r(a?) = i; h = II = oo. 

 Si l'on fait 



àzn ±n 



f(x) = 2 À,VV(«) + R„(x); ' ? (») = 2 A,V;(.r) + R»>(*), 



(') Communications de la Société mathématique de Kharkoll", 2 e série, l. XII-XHI, 

 1.910-1911. — L'existence des fonctions V. 5 (.r) est établie par M. W. Slekloll", dans son 

 Mémoire Sur l'existence des fonctions fondamentales, etc. {Mem. d. /t. Ace. dei 

 Lincei, 1910). 



