SÉANCE DU 26 MAI IÇ)l3. l5gi 



on trouve 



/ / / / ~ n 



f &»)*d*'+f qKldx=C fd.r+f */»/f*-2|X,|A», 



ce qui nous affirme la convergence de la série 7 | \ s \ A,. Posons maintenant 

 U,(*-)=-==VJt*)î B,= / 9(t)V s (i)dt. 



ô(/) étant une fonction quelconque, sornmable et de carré sommable. On 

 trouve sans peine 



S =±1 •" \,=±l y 



<// o. 



Si l'on fait maintenant 



9(<) = i, pour a^iSa;; 9(it)=o, pour e <. t b, 



on établit immédiatement la convergence uniforme et absolue de la série 

 du second membre de (4). L'identité (4) est alors une conséquence immé- 

 diate d'une analyse analogue à celle de M. W. Sleklofi'('). 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur une extension d'un théorème de 

 Weier strass et sur une restriction a" un autre théorème du même auteur. 

 Note de M. W.-F. Osr.ooi», présentée par M. Emile Picard. 



I. Weierstrass (-) a énoncé le théorème qu'une fonction analytique de 

 plusieurs variables complexes, qui a partout le caractère d'une fonction 

 rationnelle, est bien une fonction rationnelle. 



Puisque ce théorème n'est pas vrai si l'espace des variables est restreint 

 au domaine fini, on ne peut se passer d'une hypothèse portant sur l'allure 

 de la fonction dans le domaine infini; et puisque le théorème est bien vrai 



(') Voir Problème de refroidissement d'une barre hétérogène [Comm. de la Soc. 

 de Kkarkoff, i8<)6 (en russe)]. Remarquons qu'un résultat analogue, dans le cas plus 

 simple, q = o, est obtenu en même temps, indépendamment de nous, par M. N. Krvloff, 



comme il a bien voulu nous eu informer. 



(-) Journal de Crelle, t. Sç), 1880, p. 5; Œuvres, t. II, p. 129. 



