l592 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



pour l'espace analytique ('), il est raisonnable d'admettre que Weierstrass 

 avait l'intention que sa supposition. eût lieu en tous les points de cet espace. 

 M. A. Hurwitz ( 2 ) a donné une démonstration de ce théorème. Celle-ci 

 est encore valable quand la fonction est soumise à des conditions moins 

 restrictives, de telle sorte qu'on peut énoncer un théorème plus général, 

 qui embrasse ce théorème de Weierstrass comme cas spécial. 



Définition. — Soit A le lieu des points suivants de l'espace analytique : 



/, — i, k + i, ..., n; A' = i , ..., n, 

 où le point (b { , . . ., b„) est fixe. 



Théorème. — Une/onction F (z, . ..,-„), qui a le caractère d'une fonction 

 rationnelle en chaque point de A, est bien une fonction rationnelle. 



Au moyen d'une transformation homographique 



«k (3* 





yk 3 A 



^z£o (A = 1,2, ...,«), 



le point (b,, . . ., b n ) se laisse rejeter à l'origine, de telle sorte qu'on peut 

 énoncer le théorème comme il suit : 



Une fonction, qui en chaque point des variétés 



a le caractère d une fonction rationnelle, est une fonction rationnelle. 



Comme je l'ai déjà remarqué, la démonstration de M. Hurwilz est 

 encore valable en ce cas. 



Ainsi, en particulier, une fonction F(s,,...,s„) qui a le caractère 

 d'une fonction rationnelle dans le domaine fini et aussi en n points dis- 

 tincts (ce, . . . , oo, b k , oo, . . . , ce), k = i , . . . , n, est une fonction rationnelle, 



2. Dans le même Mémoire, Weierstrass a aussi énoncé un second 

 théorème. Il est bien connu qu'une fonction analytique de plusieurs 



(') Par Vespace analytique, on entend la totalité des points (s u ...,z„) pour 

 lesquels |s*| £ », /,— i , 2, ...... La notation \z\ 5» veut dire que z est un point quel- 

 conque du plan complexe étendu, fermé par le point z = go. 



(-) Journal de Ci elle, t. 95, i883, p. 201. 



