i656 



ACADEMIE DES SCIENCES. 



et Riesz, ces séries trigonométriques sont les séries de Fourier de deux 

 fonctions à carré sommable/*(ar) et g(&), ce qui donne lieu aux égalités 



(3) 



I i r 2TC i r' 2K 



l a„=- / ./(#) cos «oc dy. = — / i; (<x) sinna. da, 



'" ■- o «A) 



/ &„:= — I f(c.)s\nnxdoc=z / s (a) co% n a. da 



Donc, en désignant par S n (a?) la somme 



k = n 



2_. a k cos kx + b k sin A x, 



nous pouvons écrire 



71 -/o 



cos 



2 tan g - 



. oc 



i sin - 



2 



</«. 



De là, il suffit pour la convergence presque partout dans (0,2-) de la 

 série (1) de Fourier qu'on ait simultanément : 





(x + a) — g(x — a) 



a 

 ■2 tang- 



ua =/(•*•) 



presque partout, l'intégrale étant définie comme lim / ; 

 II. lim / , V(^ + ")-g(^-«), 



cos «« dx = o 



presque partout. 



Nous allons démontrer que ces deux conditions I et II sont en même 

 temps nécessaires pour la convergence presque partout de la série (1) de 

 Fourier. 



2 Considérons d'abord la nature de la condition I. Supposons pour 

 cela g {oc) une fonction continue dans (o, 271). Il est évident que l'existence 



de 1 intégrale / — ■ dcn est équivalente a 1 exi 



"° 2 tan g - 



l'intégrale / 



>(x + tx) — g(x — oc) 



la.. En général, 



existence de 



(.r H- <x) — ff(x — oc) 



ne 



restera pas bornée lorsque a tend vers zéro. En effet, on peut construire 



