SÉANCE DU 2 JUIN IO,l3. 16^7 



une fonction continue g (x) telle qu'on a 



s \g(a; + tx)— g{x— ex) 



f 



doc = 4- 1 



pour un ensemble de points x de mesure non nulle. Nous allons, au con- 

 traire, montrer que l'intégrale / — — — doc existe toujours 



•Ai 



presque partout et cela quelle que soit la fonction g(x) à carré sommable. 

 Donc cette intégrale doit son existence à quelque sorte àeV interférence des 



1 • n • ■ ■ • ■ lie- g(-F -+- OÙ — ■?(•*' — x ) 



valeurs intimes positives et négatives de la fonction - — - 



dans le voisinage de x = o. On peut considérer cette interférence comme la 

 cause de la convergence de toutes les séries trigonométriques de Fourier. 

 3° Considérons la fonction harmonique 



7 p"(a n cosnx -f- b n sin n x). 



n = \ 



D'après les formules (3) on a identiquement, pour o^a;5 2Tret o5p ■< 1, 



1 r i7Z . 1 — p- 1 C^ apsin(a — x) 



/ /(«) T- 1 - ! zd<X= / Ç(x) ■ ; ; %dv.. 



27T J 1 — 2pcos(a — x) -t-p 2 2r -J a ' — 2pcos(a — x)-\-p- 



L'intégrale du premier membre est une intégrale de Poisson qui corres- 

 pond à une fonction à carré sommable; par conséquent, cette intégrale tend 

 vers f {x) presque partout quand p tend vers 1. De là, suivant l'analyse de 

 M. Fatou (Adama/hematica, t. XXX, p. 36o), et en vertu de « C-propriété » 

 de la fonction g (x) (ma Note, Comptes rendus, 17 juin 191 2), on démontre 



sans difficulté que l'intégrale- / g -h a) — g(x— <x ^ ^^ vers y^ 



z 2 tan» - 



2 



presque partout quand e tend vers zéro pour toute fonction g(x) à carré 

 sommable. 



4° La condition I étant satisfaite pour toute fonction f{x) à carré som- 

 mable, on voit bien que la condition Iï est nécessaire et suffisante pour la 

 convergence presque partout delà série de Fourier (1). Il est infiniment 

 probable que la condition II est de môme réalisable pour toute fonction 

 gipe) à carré sommable et, par conséquent, que toute série trigonométrique 

 de Fourier qui correspond à une fonction à carré sommable, est toujours 

 convergente presque partout. Il faut ici signaler une différence importante 



