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Cette notion d'enveloppe s'étend au cas de fonctionnelles dépendant 

 d'une fonction arbitraire; le système (2) est alors remplacé par une équa- 

 tion fonctionnelle. On peut de même définir l'enveloppe de fonctionnelles 

 dépendant d'une fonction arbitraire et d'un certain nombre de paramètres, 

 ou bien d'une fonction soumise à des conditions restrictives. 



Si une infinité de fonctionnelles vérifient une équation aux dérivées 

 fonctionnelles partielles 



(3) •!,{i) = F|(Ciii,*.;M| 1 



il en est de même de leur enveloppe. Une famille de fonctionnelles dépen- 

 dant d'une fonction arbitraire /(() et d'un paramètre X, vérifient toujours 

 une équation de la forme (3) et en général une seule. Dans ce cas, on peut 

 dire qu'elle constitue une intégrale complète de l'équation (3), qui est 

 certainement complètement intégrable. Son enveloppe constitue Yintcgrale 

 singulière. On définit Vintégrale générale comme enveloppe d'intégrales 

 eboisies parmi celles qui constituent l'intégrale complète. 



Le cas le plus général est celui où ces intégrales dépendent de la fonction 

 arbitraire /(/), X étant une fonctionnelle dcf(t)', l'ensemble des éléments 

 communs à ces intégrales et à leur enveloppe constitue une caractéristique 

 de première espèce. On voit que l'intégrale générale dépend d'une fonction- 

 nelle arbitraire. 



Ces notions s'étendent aisément aux fonctionnelles dépendant de la 

 ligne C et de plusieurs fonctions arbitraires. 



Application. — Considérons une fonction z de x et y et une intégrale 

 définie de la forme 



S désignant la région intérieure au contour C. Supposons que, pour toutes 

 les fonctions : vérifiant sur le contour les conditions 



,=«(,), ^ =«.(*), b ,.., a^=ï = "'- (5) ' 



— désignant une dérivée normale, I ait un minimum déterminé 4>. On sait 



que la détermination correspondante de z vérifie une équation aux dérivées 

 partielles d'ordre -ip 



(4) nia-, y, - 



dx dy df, 



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