1660 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



<I> est une fonctionnelle dépendant de C, u, u n ..., w /; _,. J'ai obtenu sur 

 celle fonctionnelle les résultats suivants : 



i" <I> vérifie une équation aux dérivées fonctionnelles qu'on peut former 

 sans avoir intégré l'équation (4). Cette équation donne en chaque point de 

 la courbe C la valeur de $,', (*) en fonction des valeurs en ce point de 



x, y, u[s), u,(s), ..., 11,,-^s), <t>;,(5), «*>;,,(*), ..., *;,,,_,(*) 



et des dérivées de ces quantités par rapport à s. 



Un exemple d'une telle équation, vérifiée par l'intégrale de Dirichlet, a 

 été donné par M. Volterra. Comme autre exemple, citons l'équation que 

 vérifie l'aire de la surface minima limitée à une courbe gauche, cette courbe 

 étant définie par sa projection C sur un plan et la distance ; de chacun de 

 ses points à ce plan. En adoptant les notations de M. Volterra pour repré- 

 senter les dérivées d'une fonction de courbe gauche, celte équation s'écrit 



(•iV + 'W 1 ^ (•£)»=*■•. 



2° Toutes les équations aux dérivées fonctionnelles partielles ainsi obte- 

 nues sont complètement intégrables, 



3° Si l'on remplace dans la définition de $ l'aire S par l'aire comprise 

 entre C et un autre contour C,, on obtient de nouvelles intégrales de la 

 même équation; on peut même ajouter à $ une constante A. En faisant 

 varier A et les déterminations de u, u lt . . ., u p _ , relatives au contour C,, on 

 obtient une famille d'intégrales de l'équation étudiée ne vérifiant aucune 

 autre équation de même nature, c'est-à-dire une intégrale complète. 



4° Les caractéristiques de première espèce de cette équation se défi- 

 nissent de la manière suivante : on choisit une intégrale z de l'équation (4) 

 et une valeur de A. Pour chaque contour C, et les déterminations de u, 

 u,, ..., Up_, correspondant à ce contour et à la détermination considérée 

 de z, tp est égal à l'intégrale I, relative à cette fonction z et à l'aire com- 

 prise entre C et un autre contour fixe, et augmentée de la constante X. 



