1666 ACADÉMIE DES SCIENCES 



on Irouve, par l'emploi de l'intégrale de Fourier, 



' 3 > - -h c\\x/\ y.- — \ 



J -" L \ s/a 1 — i 



G (a) v e-' a,+ " a t/a. 



« i/a 2 — ' J 



Pour que cette intégrale ait un sens, il suffit que la fonction F(a) soit de 



l'ordre de — pour | a | très grand et que la fonction G(a) reste finie ; pour 



qu'il en soit ainsi et aussi pour que l'intégrale (3) s'annule à l'infini, on 

 reconnaît qu'il suffit que les fonctions d'état initial satisfassent aux condi- 

 tions suivantes : 



i° Les fonctions f(x), g(x), nécessairement finies, satisfont aux condi- 

 tions de Dirichlet et sont telles que les produits x/(x), xg(x) tendent vers 

 zéro quand |.r| augmente indéfiniment; 



2° A partir d'une valeur suffisamment grande, mais finie de |.r|, les fonc- 

 tions f(x), g(x) varient toujours dans le même sens et la seconde ne pré- 

 sente plus de discontinuités; 



3° La fonction f(x), nécessairement continue, puisqu'elle représente le 

 déplacement en chaque point d'un milieu continu, admet une dérivée ./'(x) 

 satisfaisant aux mêmes conditions que la fonction g(x). 



Si maintenant on s'appuie sur deux théorèmes connus de la théorie des 

 fonctions ('), on peut démontrer les propositions suivantes : 



I. L'intégrale y(x, /), définie par l'égalité (3) et où la variable t est 

 regardée comme une variable complexe, la variable x ayant une valeur 

 réelle quelconque, est une fonction holomorphe de l en tout point du plan 

 situé à droite de l'axe imaginaire; l'intégrale ç(a?, () cesse d'être holo- 

 morphe sur cet axe, mais elle reste continue par rapport à t ainsi que sa 



i , • ■ ' d® 

 dérivée -f-- 

 dt 



IL L'intégrale cp(;r, /), définie par l'égalité (3) et où la variable / a une 

 valeur quelconque située à droite de l'axe imaginaire, est une fonction 

 continue de la variable réelle x\ si les fonctions d'état initial /(x), g(-r) 

 sont formées par une succession d'arcs analytiques, l'intégrale o(x, l) est 



( ' ) H. Poi.Nf.AiiÊ, Théorie analytique de la propagation de la chaleur. Cliap. VII, 

 p. i i 8 et 123. 



