1728 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



Pour établir ce lemme, on justifie l'égalité (1), par un calcul direct, en 

 supposant A - égal à l'unité. On démontre ensuite que si l'égalité (1) est 

 vraie jusqu'à une certaine valeur de k, elle l'est encore pour la valeur 

 (k -+- 1). En effet, en vertu de l'égalité (1), on a 



4WDi=A [^ (rI1 



Mais la formule (1) étant vraie lorsque è = i, le second membre de 

 l'égalité précédente se réduit à 



1 rf 2 <*+" 



/■ f/r 2 "'^" 



(rU). 



Ce lemme posé, considérons une fonction U (x,y,z, t) qui soit assujettie 

 à vérifier cette équation aux dérivées partielles 



t t, . àU . d 2 U . d'U 



(2) LoU + L,— + L 2 _+... + L /w - 



+ M AU+M I A^U...+ M M A^ 



• 



„ ,,., ., .,()ll -. . , à" U 



-H N A 2 U -+- N, A 2 — -t-. . .+ N,,A 2 — 



+ P A*U + P,A*^+...+ P„A*^ 



où les L, M, N, . . . , P sont des constantes. 



Imaginons qu'à chaque instant t, la valeur de la fonction U ne dépende 

 que de la distance r à l'origine des coordonnées. Dans l'équation (2), 

 remplaçons tous les A par leurs valeurs tirées de la formule (ij, et posons 



(3) rU = V(r,f). 



Après multiplication par r, l'équation (2) deviendra 



dV d 2 V 



(4) UV-hL.^L,— + .. 



d 2 V .. Ô-- dV 



N *V ^dV 



d/" d/" d< 



d 2A V d ! * dV d ! * dfV 



d/- 8 '" dt " /J d/- !/ df 



