I74o ACADÉMIE DES SCIENCES, 



qu'il esl de la forme 



(0 



Ç f[K(rt - s 2 ) + A/- + \îs -+- Gt + D] dx dy, 



K, A, B, G, D étant fonctions de x, y, z, />, çr. Or cela fait immédiatement 

 naître une question analogue à celle qui consiste à demander la condition 

 pour laquelle l'intégrale classique 



ff> 



( — p F — q G + II ) <7.r f/j 



ne dépend que du contour de la cloison d'intégration. 



A quelles conditions une intégrale (i) pourra-l-elle se mettre sous la forme 



IJ) 



P dx + Qdy + Rdz + Sdp + T dq 



et ne dépcndra-l-elle ainsi que des valeurs de x, y, z, p, a sur le contour y de 

 la cloison d'intégration? Il faut ici quatre conditions. Si l'on pose 



v d d v d d 



ax dz vy àz 



M = B - -£- fk dp — j-fc dq, N = D - X Ç\ dp — Y Çc dq, 



ces quatre conditions sont 



-<*> + *(f)-f 



d 1 r YV .„. d 2 N dMl 



- — j- X Y(K -i- -r — : — = o, 



àp dq y dp dq dz J 



v . /n v fàM\ d 2 N 

 Y - (K) + Y (^)-^ ==0 ' 



d .X(K ) + 4-Y { K) * M 



dp ' dq dz dp dq 



Je ne puis indiquer ici tous les résultats qui me semblent susceptibles 

 d'être syntliétiquement réunis par ces préliminaires. En voici seulement une 

 légère esquisse. 



D'abord le crochet situé dans (i), multiplié par un facteur \i.(x,y, z,/;, q) 

 et égalé à zéro, donne une équation de Monge-Ampère pour laquelle l'inté- 

 grale (i) est nulle; on trouve ainsi une classe très étendue de ces équations 

 sur les surfaces intégrales desquelles la forme dillérenticllc 



P dx -+- Q dy -+- R dz + S dp + T dq 



