1742 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



double d'un domaine fondamental est limité par les perpendiculaires 

 (non euclidiennes) menées en leur milieu à un certain nombre fini de 

 segments < >< .),■ de ^minima. Or le minimum de la £ correspond ici à celui 

 de a,-. 11 suffit donc, pour obtenir le domaine fondamental, de calculer, ce 

 qui est facile, les premières solutions de l'équation (1) par ordre de grandeur 

 croissante des a,-; on conserve seulement les a,-, (3,-, y t qui correspondent à 

 des points équivalents à O. On s'arrêtera au plus tard lorsque, désignant 

 par ABC... le premier polygone convexe ainsi obtenu, on arrivera au 

 premier O, pour lequel £00; sera supérieur au double de la ^maxima (') 

 des rayons OA, OB, etc. 



Pour distinguer celles des solutions a,, (3,-, y,- de l'équation (1) qui corres- 

 pondent à des points équivalents à O, il n'y a pas de difficulté théorique. 

 On peut employer, par exemple, l'un ou l'autre des deux procédés suivants : 



Premier procédé. — On réduira la forme 



7= \ ( *A + y fi + -/t.) 2 - / 



associée kf pour la réduction continuelle. Pour que le point ( - soit équi- 

 valent à O, il faut et il suffit que la réduite en laquelle se cbange f lui soit 

 identique. On peut employer, pour celte réduction, les conditions de 

 M. Selling, et les substitutions (x, x — z, y), (z,x,y) suffisantes pour 

 cela, comme l'a montré M. Cbarve. 



Deuxième procédé. — On utilisera les expressions, données par Hermite 

 et étudiées par M. Bacbmann, pour les substitutions semblables, S, d'une 

 forme /"en fonction de quatre entiers p, q, </', q" vérifiant une équation 



(2) p°-+F(,,,q\ ( /) = P 



(F adjointe de/, P diviseur du quadruple du déterminant). 



En exprimant que 0,= OS, on aura trois équations permettant avec (2) 

 de calculer/;, y, q', q". Pour que O, soit équivalent à O, il faut et il suffit 

 (ju'il existe une valeur de P pour laquelle les solutions p, </, q', q" soient 

 entières et répondent à une S entière. 



Les procédés ainsi donnés pour les formes x' 2 — f(y, z) ne sont pas d'une 

 application aussi restreinte qu'il peut le paraître a priori, car toute forme 

 quadratique ternaire indéfinie, proprement primitive ainsi que son adjointe, 



(') Nous nous bornerons ici au cas où y ne représente pas rationnellement zéro. 



