SÉANCE DU l6 JUIN IO,l3. 1817 



de plus, correspondance de leurs lignes asymptotiques et de leurs réseaux 

 conjugués. C'est de cette propriété que jouissent notamment, d'après un 

 théorème bien connu de Ribaucour, les deux nappes delà développée d'une 

 surface W ou, ce qui revient au même, une surface admettant un ds 2 de 

 révolution et sa surface complémentaire. Proposons-nous, d'une manière 

 générale, de rechercher la transformation au moyen de laquelle on passe 

 d'une surface donnée (S) à une autre (S,), formant avec (S) un couple de 

 Ribaucour. 



Voici d'abord une remarque préliminaire. Associons à deux surfaces, 

 assujetties à l'unique condition d'avoir leurs normales correspondantes 

 rectangulaires, deux congruences (Y) et (T,), en menant par chaque point 

 de l'une la tangente parallèle à la normale à l'autre. Je dis qu'entre (T) 

 et (r,) il y a correspondance des secondes développables. 



Or les développables d'une congruence découpent un réseau conjugué 

 sur la nappe focale. Par suite, si, maintenant, (S) et (S,) constituent un 

 couple de Ribaucour, les premières développables de (T)et de (T,) vont se 

 correspondre également; il en sera de même de leurs arêtes de rehausse- 

 ment tracées sur (S) et (S, ). Si m = const. est l'équation de ces courbes, 

 les coordonnées et les cosinus directeurs de la normale à (S,) doivent être 

 définis par les formules suivantes (') : , 



dx % = ( m du -+- n dv)y + h dia Y (.<•, g>), . . . , 



doc à'j) d.T dm 

 du dv dv du 



,A ~~ v/(EG-F 2 )Ï7J~r 



Pour déterminer co, /;, m, n, on écrira les conditions d'intégrabilité 

 pour dx t , dy n dz K ; on exigera en outre que D,, D,, T)" t soient proportion- 

 nels à D, D', D". Cette condition, jointe aux précédentes, se réduit à la 

 seule relation 



dit ()r>> ôli ô'xi _ 

 du dv dv du 



qui permet de faire h = i("). Après quelques réductions, on trouve les 



(') Quant aux notations, je me rapporte à l'Ouvrage de M. Bianchi, Lezioni di 

 Geometria differenziale. 



( 2 ) Pour éviter les imaginaires, on fera h — — 1 pour la (S,) symétrique. 



