SÉANCE DU 16 JUIN I()l3. 1819 



forme 



ds- = du 1 H- 2 [ 11 -+- 9 ( i' ) ] rfc 2 . 



Les deux problèmes sont donc équivalents au point de vue de l'analyse ; 

 du reste, ils deviennent identiques lorsque (S) est la sphère. Dans le cas 

 d'un paraboloïde, on a l'équation 



dxd£ 



--A"), 



qui, abstraction faite des cas particuliers, ne parait pas encore avoir fait 

 l'objet d'une interprétation géométrique. 



J'examinerai enfin une question qui se rattache à la théorie des surfaces 

 applicables. On reconnaît que, si la surface (S) est de révolution, elle 

 admet une famille de courbes, à savoir les parallèles qui, dans quelque 

 déformation qu'on fasse subir à (S), ne cessent d'être des courbes w, leurs 

 tangentes demeurant parallèles aux normales d'une surface variable (S,) 

 dont les lignes asymptotiques correspondent à celles de la (S) déformée. 

 Pour qu'une surface jouisse de cette propriété, il faut que dans l'équa- 

 tion (3) P, Q, R disparaissent séparément. Je me contente de signaler la 

 solution de ce problème qui, outre les ds 2 de révolution, comprend les 

 quatre types suivants ( ' ) : 



1 ° ds* = du- + 2 [« -t- <p( v)] dp*, 



ds- = du 2 + c [ 1 -+- u 2 <s ( c ) ] dp 2 , 

 3° ds*=du* + 2f'(u)dudv+ 2o'(v)dv-, 



4° 



ds*—du*+zf (-\ du dp + 2 ff-\ — " /'(-)+ <p'(e) 1 dp 2 , 



où /'et <p désignent des fonctions arbitraires, y et f' leurs dérivées. 



Le premier cas est celui de M. Goursat, (S,) étant la sphère. Le 

 second ds 2 appartient à une surface réglée, formée des binormales d'une 

 courbe (réelle ou imaginaire). En posant respectivement fy = /"(«) -1- <p(t>) 

 et 'l> = vfi - \ -+- 9(<>), on ramène le troisième et le quatrième type à la 



forme 



ds 2 = du- -+- 2 dtydp, 



qui permet l'application immédiate de la méthode de Weingarten. 



Dans le troisième cas, (S,) est (2), surface intégrale de l'équation 

 d'Ampère ; dans le quatrième, (S,) se trouve être identique avec la (S') de 



(') Nous faisons coïncider les courbes p et co. 



